방어적 재밸런싱으로 AMM의 무위험 차익거래 방어

초록

이 논문은 CFMM(상수함수 시장 메이커) 간에 직접 자산을 이동시키는 “방어적 재밸런싱” 메커니즘을 제안한다. 재밸런싱을 통해 모든 풀의 유동성을 감소시키지 않으면서 차익거래 가능성을 제거하고, 최적의 재밸런싱 문제를 로그-볼록 거래 함수에 대해 볼록 최적화로 풀어낸다. 또한 일부 풀만 직접 전송하고 나머지는 전통적인 거래를 이용하는 혼합 재밸런싱 모델도 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존 CFMM이 가격 불균형으로 인해 차익거래자가 무위험 이익을 얻는 상황을 설명하고, 이러한 손실이 유동성 제공자(LP)의 수익을 감소시킨다는 점을 강조한다. 핵심 아이디어는 “재밸런싱”이라는 새로운 조작을 도입해, 풀 간에 토큰을 직접 이동시킴으로써 각 CFMM의 상태를 동시에 조정한다는 것이다. 이때 재밸런싱은 토큰 총량을 보존하고, 각 풀의 유동성(거래 함수값)만을 증가시키거나 최소한 유지한다. 저자는 임의의 차익거래 가능 상태에서 반드시 존재하는 유효한 재밸런싱을 증명하고, 그 결과가 일부 풀의 유동성을 strictly 증가시키면서 다른 풀의 유동성을 감소시키지 않음을 보인다.

다음으로 ‘파레토 효율성’ 개념을 도입한다. 재밸런싱 하에서 어느 풀도 유동성을 감소시키지 않으면서 다른 풀을 개선할 수 없는 상태를 파레토 효율이라 정의하고, 이를 ‘차익거래 불가능’ 상태와 동등함을 정리(정리 3.7)한다. 이 동등성은 두 가지 중요한 함의를 가진다. 첫째, 차익거래가 존재하면 반드시 파레토 비효율적이며, 따라서 재밸런싱을 통해 차익거래를 제거하면 자동으로 파레토 효율성을 확보한다. 둘째, 파레토 효율성을 만족하는 상태에서는 추가적인 재밸런싱이 반드시 어느 한 풀의 유동성을 감소시켜야 하므로, 더 이상의 개선 여지가 없음을 보장한다.

핵심 기술적 공헌은 로그-볼록(trade function)인 경우 최적 재밸런싱을 볼록 최적화 문제로 변환한다는 점이다. 목표는 전체 시스템의 로그 유동성 합을 최대화하면서(즉, ∑log F_i) 각 풀의 유동성이 감소하지 않도록 제약한다. 변수는 최종 풀 크기와 전송량 δ이며, 보존식과 비음성 제약은 선형이므로 전체 문제는 로그-볼록 목적함수와 선형 제약으로 구성된 표준 볼록 프로그램이 된다. 로그-볼록성 덕분에 전역 최적해가 유일하고, 기존의 상용 솔버로 효율적으로 구할 수 있다.

마지막으로 저자는 ‘혼합 재밸런싱’ 모델을 제시한다. 일부 CFMM은 직접 전송을 허용하지 않거나 중앙화 거래소(CEX)와 연계된 가격 오라클을 사용한다면, 해당 풀은 전통적인 거래를 통해 가격을 맞추고, 나머지 풀은 직접 재밸런싱을 수행한다. 이 경우에도 전체 최적화는 동일한 볼록 구조를 유지하며, 차익거래 기회를 차단하면서 비참가 풀이나 오라클 기반 시장으로부터 이익을 추출할 수 있다. 전체적으로 논문은 방어적 재밸런싱이 차익거래 위험을 사전에 차단하고, LP에게 더 높은 유동성을 제공함으로써 AMM 생태계의 효율성을 크게 향상시킬 수 있음을 이론적으로 입증한다.