Permutation 기반 조합 최적화를 위한 변분 양자 알고리즘 최적 안사츠 생성 및 이차 할당 문제 적용

초록

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본 논문은 1‑ 및 2‑큐비트 퍼뮤테이션 게이트만으로 생성 가능한 모든 순열을 포괄하는 새로운 변분 양자 회로를 제안한다. 회로 설계는 Bruhat 분해와 군 이론을 기반으로 하며, 필요 큐비트 수는 순열 차원에 대해 로그 스케일이다. 추가적인 ancilla 큐비트를 도입해 스팬을 확대하고, 이를 이용해 이차 할당 문제(QAP)와 그래프 동형성 문제 등 순열 기반 최적화 문제를 해결하는 알고리즘 QuPer 를 구현한다. 시뮬레이션 결과는 256 변수(20 큐비트)까지 경쟁력 있는 성능을 보이며, 기존 고전적 휴리스틱과 비교해 유사하거나 우수한 결과를 얻었다.

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상세 분석

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이 논문은 순열 기반 조합 최적화 문제를 양자 변분 알고리즘으로 해결하기 위해 두 가지 핵심 아이디어를 제시한다. 첫 번째는 Bruhat 분해를 이용해 CX(Controlled‑X) 게이트와 회전 게이트만으로 구성된 회로가 생성할 수 있는 순열 집합을 정확히 규명한 것이다. 저자들은 q‑큐비트( n=2^q ) 시스템에서 O(q²) 개의 연속 파라미터와 O(q) 깊이의 회로가 2^{O(q²)} 개의 순열을 스팬한다는 정리를 증명한다(정리 1, 명제 3·5, 정리 3·4·6). 이는 기존의 amplitude encoding 방식이 갖는 비대칭성 문제를 해결하고, 로그 스케일의 큐비트 사용으로 NISQ 기기에 적합함을 의미한다.

두 번째 아이디어는 ancilla 큐비트를 활용해 스팬을 (2^{q})! 에 가깝게 확장하는 방법이다. 기존의 CX‑전용 회로는 스팬이 제한적이지만, 마리엘라 등(2021)의 설계와 유사하게 ancilla와 얽힌 유니터리를 삽입하면 이중 확률 행렬(doubly‑stochastic matrix)을 직접 생성할 수 있다. 저자들은 이러한 회로가 최대 2^{O((q+m)²)} 개의 순열을 커버한다는 상한을 제시하고, 전체 순열 집합을 완전히 포괄하려면 m ≳ √n·log n 수준의 ancilla가 필요함을 보였다.

알고리즘 QuPer는 위 회로를 변분 파라미터 θ에 대해 클래식 옵티마이저(Adam)를 사용해 최적화한다. 회로 출력은 확률 행렬 \hat{P}_θ 로, 이를 직접 비용 함수 f(\hat{P}_θ) 에 대입해 평가한다. 필요 시 \hat{P}_θ 를 순열 집합 Π_n 으로 투사(projection)해 실제 해 ˜P 를 얻는다. 이 접근법은 비용 함수를 양자 관측량으로 구현할 필요가 없으며, 복잡한 제약조건을 하드 코딩하지 않아도 된다.

실험에서는 QAP와 그래프 동형성 문제를 대상으로 256 변수(20 큐비트)까지 시뮬레이션을 수행했다. QAPLIB 데이터셋과 무작위 인스턴스 모두에서 QuPer는 기존 고전적 휴리스틱(예: Auction, Simulated Annealing)과 비교해 비슷하거나 더 좋은 목표값을 달성했으며, 특히 ancilla를 활용한 확장 회로가 성능 향상에 크게 기여함을 확인했다. 또한, 동일한 문제에 대해 기존 변분 양자 알고리즘(QAOA 기반)보다 깊이와 파라미터 수가 현저히 적음에도 경쟁력을 유지한다는 점을 강조한다.

이 논문의 주요 공헌은 (1) Bruhat 분해를 이용한 최소 파라미터·깊이 회로 설계, (2) ancilla를 통한 스팬 확대 이론적 분석, (3) 이를 바탕으로 한 QuPer 프레임워크의 실용적 구현 및 광범위한 실험 검증이다. 특히, 로그 스케일 큐비트 요구와 비클래식 시뮬레이션 불가능성은 NISQ 시대에 순열 기반 최적화 문제를 양자적으로 다루는 새로운 패러다임을 제시한다.

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