AMM 수수료 메커니즘의 형식적 분석과 Lean 4 검증

초록

본 논문은 기존 상수곱 AMM 모델에 거래 수수료 파라미터 ϕ∈(0,1]를 도입하고, Lean 4를 이용해 수수료가 포함된 스왑 함수의 경제적 특성을 형식적으로 증명한다. 출력 제한, 단조성은 유지되지만 가산성(additivity)은 깨지며, 큰 스왑이 여러 작은 스왑보다 더 큰 이익을 제공함을 보인다. 또한 수수료가 있는 경우의 최적 차익거래 해를 닫힌 형태로 도출하고 그 유일성을 증명한다. 모든 결과는 Lean 4로 기계 검증되었다.

상세 분석

논문은 먼저 Uniswap v2와 동일한 상수곱 스왑 함수 SXϕ(x,r₀,r₁)=ϕ·r₁·r₀/(r₀+ϕ·x) 에 거래 수수료 ϕ를 도입한다. ϕ=1이면 기존 무수수료 모델을 복원하고, ϕ<1이면 각 스왑 후 AMM의 토큰 곱 (r₀+x)(r₁−y) 가 증가한다는 점을 강조한다. 이로 인해 스왑 출력 y 가 감소하고, 수수료가 LP에게 이익을 제공한다는 경제적 해석을 제시한다.

수학적 성질 분석에서는 Lemma 4와 Lemma 5를 통해 출력 제한성(x·SXϕ<r₁)과 엄격한 단조성(입력·보유량 변화에 따라 스왑 비율이 반비례적으로 변함)을 ϕ∈(0,1] 전 범위에서 유지함을 증명한다. 반면 Lemma 6에서 제시된 가산성 식은 ϕ<1일 때 보정 계수 ζϕ>1 이 되어, 단일 큰 스왑과 두 개의 작은 스왑 사이에 비선형 차이가 발생함을 보여준다. 이를 기반으로 Theorem 8은 “스왑 이익의 가산성”을 정량화한다. 즉, G_A(Γ,T(x₀+x₁)) = G_A(Γ,T(x₀)) + G_A(Γ′,T(x₁)) + εϕ이며, εϕ>0는 ϕ<1일 때만 존재한다. 이는 실제 DeFi 환경에서 트레이더가 거래를 분할하면 수수료 누적으로 인해 손해를 본다는 실용적 교훈을 제공한다.

차익거래 분석에서는 외부 가격 오라클 P 에 의해 정의된 외부 환율 X(τ₀,τ₁)=P(τ₀)/P(τ₁)와 내부 환율 X_Γ(τ₀,τ₁)=lim_{x→0}SXϕ(x,r₀,r₁) 을 비교한다. Theorem 9와 Lemma 10은 내부 환율을 외부 환율에 맞추는 스왑 양 x*를 닫힌 형태로 구하고, 그 해가 유일함을 증명한다. 이후 Theorem 12와 Theorem 13은 최적 차익거래 스왑 양을 구간 형태와 정확한 해로 제시하며, Lemma 14를 통해 최적 해의 유일성을 보장한다.

전체 증명은 Lean 4 라이브러리로 구현되어 약 3500줄의 코드와 형식 검증을 제공한다. 이는 DeFi 스마트 계약의 안전성을 높이는 형식적 방법론의 사례로, 수수료 메커니즘이 경제적 행동에 미치는 영향을 정밀히 모델링하고 검증한다는 점에서 학술적·실무적 의의가 크다.