SU1 1의 의사리만니안 스펙트럴 트리플과 무한 차원 디랙 연산자

초록

본 논문은 SU(1,1) 군의 조화해석을 이용해 Kostant의 3차 디랙 연산자 D를 정의하고, 이를 (A, H, D) 삼중체에 대입함으로써 Van den Dungen‑Paschke‑Rennie가 제시한 의사리만니안 스펙트럴 트리플과 Van den Dungen‑Rennie가 정의한 무한 차원(Indefinite) 스펙트럴 트리플 두 가지 구조를 동시에 만족함을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 SU(1,1)의 리 대수 su(1,1)를 표준 기저 {e₁,e₂,e₃} 로 잡고, 킬링 형식 B에 대해 B(e₁,e₁)=B(e₂,e₂)=2, B(e₃,e₃)=−2 라는 비정형성을 확인한다. 이를 바탕으로 B‑쌍대 기저를 정의하고, 유니버설 엔벨핑 대수 U(su(1,1))와 클리포드 대수 Cl(su(1,1)) 사이의 양자화 사상 q를 도입한다. 구조상수 텐서 φ=−⅛ e₁∧e₂∧e₃ 를 q에 적용하면 q(φ)=−⅛ e₁e₂e₃ 가 된다. Kostant의 3차 디랙 연산자는
D₀ = Σₐ Xₐ eₐ ⊗ eₐ + 1 ⊗ q(φ)
의 형태이며, 여기서 Xₐ는 좌측 정규 표현에 대응하는 미분 연산자이다. 중요한 점은 D₀² = Ω ⊗ 1 + (1/24) Tr Ω ⊗ 1 로, Ω는 카시미르 원소이며, 따라서 D₀는 2차 연산자 R D = i²(D²−D*²) 가 정확히 0이 된다. 이는 의사리만니안 스펙트럴 트리플 정의에서 요구되는 2차 연산자의 부드러움 조건을 자동으로 만족시킨다.

다음으로 저자는 Pauli 행렬을 이용해 Cl(su(1,1))를 C²에 구현하고, D₀를 구체적인 2×2 행렬 형태로 전개한다. 이때 D₀는 오른쪽 불변 벡터장에 대한 작용과 클리포드 곱셈이 결합된 형태이며, 스핀 구조가 자명하게 트리비얼함을 확인한다.

핵심적인 조화해석 단계에서는 SU(1,1)의 플랑크레 측정과 단위 가역 표현들의 플랑크레 전개를 이용한다. 이 군은 이산 급수와 주축 유니터리 급수(주요 연속 급수)로 분해되며, 각각의 매트릭스 원소는 e₃, e₁±ie₂ 에 대해 명확한 상승·하강 연산자를 제공한다. 특히, e₁±ie₂ 가 ladder 연산자로 작용함에 따라 D₀의 스펙트럼을 직접 계산할 수 있다. 저자는 이러한 계산을 통해 D₀가 자체적으로 닫힌 연산자이며, 핵심적인 도메인 C_c^∞(SU(1,1))⊗C² 가 핵심적인 핵심공역(core)임을 보인다.

의사리만니안 스펙트럴 트리플 정의(Van den Dungen‑Paschke‑Rennie)에서는 (A, H, D) 가 *‑알제브라 A=C_c^∞(SU(1,1))⊗1, 힐베르트 공간 H=L²(SU(1,1))⊗C², 그리고 위에서 정의한 D₀ 로 구성될 때, (i) D₀는 닫힌 연산자, (ii)