다중형 분기 과정에 이민을 포함한 무작위 환경에서의 극한 정리

초록

본 논문은 i.i.d. 무작위 환경 하에서 초과임계 다중형 브라운-갤톤-와트슨 과정에 매 세대마다 이민 벡터가 추가되는 모델을 연구한다. 기존의 Grama 등(2023)의 정규화 과정 ˜Wₙᶦ를 확장하여 새로운 정규화 과정 Wₙᶦ를 정의하고, Kesten–Stigum 정리를 이민이 있는 경우에도 성립시키는 비퇴화 조건을 제시한다. 또한 1<p<∞와 0<p<1 구간에 대해 Lᵖ 수렴 기준을 완전하게 제공하며, ˜Wₙᶦ의 최대 함수 supₙ˜Wₙᶦ가 유계가 되는 충분조건도 도출한다. 결과적으로 이민이 존재하더라도 거의 확실한 수렴 성질은 크게 변하지 않지만, Lᵖ 수렴 기준에는 영향을 미침을 확인한다.

상세 분석

본 연구는 다중형 BPRE(Branching Process in Random Environment)에 이민(immigration)이라는 외부 입력을 도입함으로써 기존 이론의 한계를 확장한다. 핵심은 Grama et al.이 제시한 정규화 마팅게일 ˜Wₙᶦ를 그대로 사용하지 못한다는 점이다. 무작위 환경에서는 평균 행렬 Mₙ이 시점마다 달라지고, 그 스펙트럼 반경 ρₙ도 랜덤하게 변한다. 따라서 전통적인 정규화 ρ₀,…,ρₙ₋₁을 이용한 마팅게일은 마팅게일 성질을 잃는다. 이를 해결하기 위해 Hennion의 랜덤 행렬 곱 이론을 차용, 각 시점 n에 대해 한계 오른쪽 고유벡터 Uₙ,∞와 λₙ=‖MₙUₙ₊₁,∞‖을 정의한다. 이 λₙ은 “의사 스펙트럼 반경”이라 불리며, λ₀,…,λₙ₋₁의 곱을 정규화 상수로 사용하면 Wₙᶦ=⟨Xₙᶦ,Uₙ,∞⟩·(λ₀,…,λₙ₋₁)⁻¹·U₀,∞(i) 가 마팅게일(또는 서브마팅게일) 구조를 갖는다.

이민이 포함된 경우 Xₙᶦ는 두 부분으로 분해된다. 하나는 기존 BPRE Zₙᶦ(초기 입자만으로 성장)이고, 다른 하나는 각 시점 k에서 들어온 이민 Y_k와 그 후손 ˆZ_k이다. 이 분해를 이용해 Wₙᶦ를 Zₙᶦ와 ˆZ_k들의 정규화 합으로 표현함으로써, 이민이 마팅게일에 미치는 영향을 정확히 추적한다.

주요 정리들은 다음과 같다. (1) 적절한 순간조건(H1: E