DeFi 레버리지 스테이킹 최적화: 다중 대출 시장의 수학적 해법

초록

본 논문은 DeFi에서 자산을 담보로 대출받아 재스테이킹하는 “루프” 전략을 수학적으로 모델링하고, 여러 대출 시장에 걸친 최적 레버리지 배분을 볼록 최적화 문제로 전환한다. 선형·키크·AdaptiveCurveIRM 세 가지 금리 모델에 대해 폐쇄형 해를 제시하고, 이더리움·Base 체인에서 wstETH/WETH 시장을 대상으로 백테스트한 결과, 재조정된 레버리지 포지션이 연 6.2%의 APY를 달성함을 보인다.

상세 분석

논문은 DeFi 대출 프로토콜이 제공하는 “화이트박스” 금리 모델—즉, 풀 이용률( utilization )에 대한 결정론적 함수—을 핵심 전제로 삼는다. 이를 통해 기존 금융에서 흔히 발생하는 금리 불확실성을 배제하고, 담보‑대출 비율(maxLTV)과 풀 유동성(¯S, ¯B)이라는 제약조건 하에서 포지션의 레버리지를 정확히 수식화한다.
먼저 개별 시장 i에 대해 담보 C_i와 대출 B_i를 노출 x_i = C_i – B_i 로 정의하고, 레버리지 ℓ_i = C_i / (C_i – B_i) 로 표현한다. 레버리지 상한 ℓ_max,i = 1/(1–maxLTV_i) 를 도입하고, 실제 전략에서는 안전 마진을 두어 ℓ_max,i 를 낮춘다(예: wstETH‑WETH 시장에서 ℓ_max=5).
핵심 아이디어는 레버리지 포지션을 “최대 레버리지 서브포지션”(x_1,i)과 “무레버리지 서브포지션”(x_0,i)으로 분해하는 것이다. 이때 x_1,i = x_i(ℓ_i–1)/(ℓ_max,i–1), x_0,i = x_i(ℓ_max,i–ℓ_i)/(ℓ_max,i–1) 로 변환한다. 이렇게 하면 원래 비볼록적인 (x_i, ℓ_i) 최적화 문제가, 선형 제약과 볼록(또는 준볼록) 비용 함수만을 갖는 (x_0,i, x_1,i) 형태의 볼록 최적화 문제로 바뀐다.

목표 함수는 스테이킹 수익 s·(총 담보) – 대출 이자 비용 Σ x_1,i(ℓ_max,i–1)·b_i(·) 로 구성된다. 여기서 b_i(·)는 추가 대출량에 따라 변하는 순간 금리이며, 선형, 키크, AdaptiveCurveIRM 세 모델에 대해 각각 b_i(u)=a·u, b_i(u)=a·u (u≤u_k)+