다중재료 전자패키징 탄성 해석을 위한 물리 기반 콜모고로프‑아놀드 신경망

초록

본 논문은 전자패키징 구조의 다중재료 탄성 문제를 풀기 위해, 전통적인 MLP 대신 B‑스플라인 활성함수를 갖는 Kolmogorov‑Arnold Network(KAN)를 에너지 기반 물리‑정보 신경망(DEM)에 적용한 PIKAN 프레임워크를 제안한다. 경계조건을 만족하는 admissible 변위장을 직접 설계하고, 단일 네트워크로 재료 계면의 불연속성을 자연스럽게 근사함으로써 영역 분할과 인터페이스 제약을 제거한다. 수치 실험을 통해 높은 정확도와 안정성을 입증했으며, 코드가 공개되어 실용적 활용이 가능하다.

상세 분석

이 연구는 물리‑정보 신경망(PINN)의 두 가지 주요 형태인 강형(PINN)과 에너지형(DEM) 중, 변위 최소화 원리를 직접 손실함수로 사용하는 에너지형 접근을 선택하였다. 기존 PINN에서 주로 사용되는 다층 퍼셉트론(MLP)은 고차원·고주파 해석에 비효율적인 스펙트럴 바이어스와 파라미터 폭증 문제를 안고 있다. 이를 극복하기 위해 저자들은 Kolmogorov‑Arnold Network(KAN)를 도입했는데, KAN은 각 뉴런이 선형 가중치와 1차원 B‑스플라인 활성함수의 조합으로 구성된다. B‑스플라인은 지역적 지원(local support)을 가지며, 학습 과정에서 노드별로 형태를 조정할 수 있기 때문에 재료 계면과 같이 급격한 물성 변화를 효과적으로 근사한다. 특히, KAN의 활성함수가 본질적으로 조각화(piecewise) 특성을 갖기 때문에, 별도의 도메인 분할(domain decomposition) 없이도 전체 영역을 하나의 네트워크로 표현할 수 있다.

논문은 또한 ‘admissible displacement field’를 명시적으로 구성한다. 변위장 u_pred(x)=P(x)+D(x)⊙F(x;θ) 형태로, P(x)는 경계조건을 만족하는 고정 함수, D(x)는 경계까지의 거리 함수, F는 학습 가능한 일반화 네트워크이다. 이 설계는 경계조건을 네트워크 구조에 내재시켜 손실함수에 별도의 경계 페널티를 추가할 필요를 없애고, 최적화 안정성을 크게 향상시킨다. 손실함수는 내부 변형 에너지와 외부 트랙션 작업의 차이인 전체 포텐셜 에너지 L=∫Ω ψ(ε(u))dΩ−∫Γ σ̄·u dΓ 로 정의되며, 자동 미분을 통해 효율적으로 계산된다.

수치 적분 측면에서 저자들은 가우시안 적분과 몬테카를로 샘플링을 비교하고, 적분 포인트 수와 배치 크기에 따른 민감도 분석을 수행했다. 실험에서는 서로 다른 계면 형태를 가진 캔틸레버 빔, 다중재료 전자패키징 모델 등을 대상으로 기존 MLP‑DEM 및 도메인 분할 기반 PINN과 비교했으며, PIKAN이 동일하거나 더 적은 파라미터로 높은 L2 오차 감소와 빠른 수렴을 보였다. 또한, B‑스플라인 차수와 노드 수에 따른 표현력과 학습 비용의 trade‑off를 정량화하여 실무 적용 시 가이드라인을 제공한다.

한계점으로는 현재 KAN의 이론적 보편 근사성(Universal Approximation)이 완전히 증명되지 않았으며, 복잡한 3D 비선형 대변형 문제에 대한 확장성 검증이 부족하다는 점을 언급한다. 향후 연구에서는 KAN의 수학적 수렴성 분석, 고차원 비선형 재료 모델링, 그리고 실시간 설계 최적화와의 연계가 기대된다.