합리적 Krylov 방법을 이용한 선형 역문제 정규화

초록

본 논문은 선형 불안정 문제에 대해 기존의 Tikhonov 정규화와 Landweber 반복을 활용한 Aggregation 방법과 RatCG 방법을 합리적 Krylov 공간으로 재해석하고, 불일치 원칙을 정지 기준으로 사용할 때 최적 차수의 정규화 수렴율을 보임을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 Hilbert 공간에서 정의된 선형 연산자 (A:X\to Y)와 노이즈가 섞인 데이터 (y^\delta)에 대해 전통적인 Tikhonov 정규화 (x^\delta_\alpha=(A^*A+\alpha I)^{-1}A^*y^\delta)를 여러 정규화 파라미터 ({\alpha_i}_{i=1}^n)에 대해 계산한다는 전제를 둔다. 이때 얻어지는 해들의 선형 결합을 최소제곱 함수 (|Ax-y^\delta|^2)를 최소화하는 새로운 탐색 공간으로 사용한다. 이 과정은 두 가지 알고리즘, 즉 Aggregation 방법과 RatCG 방법으로 구분된다. Aggregation은 저차원 선형 시스템 (G c = z)를 푸는 형태이며, RatCG는 짝수 단계에서 Tikhonov 해, 홀수 단계에서 Landweber(또는 CGNE) 업데이트를 교대로 수행하는 재귀 구조를 가진다.

핵심 기여는 이러한 알고리즘을 “합리적 Krylov 공간” (\mathcal{K}n)의 관점에서 해석한 점이다. 전통적인 Krylov 공간은 다항식 (p{n-1}(A^*A)A^*y^\delta) 형태이지만, 여기서는 분모에 (\prod_{i=1}^n (A^*A+\alpha_i I))와 같은 유리함수를 포함하는 공간 (\mathcal{R}_n)와 (\mathcal{KR}_n)을 정의한다. 이를 통해 각 방법의 잔차는 \