에르되시의 정사각형 포장 추측과 수열 수렴성

초록

본 논문은 단위 정사각형(또는 단위 정삼각형) 안에 겹치지 않게 배치할 수 있는 n개의 정사각형(정삼각형)의 변 길이 합의 최댓값 f(n)을 정의하고, 에르되시가 제안한 “f(k²+1)=k” 추측을 새로운 관점에서 접근한다. 저자는 f가 만족하는 부등식 (∗) 를 이용해 ε(k)=f(k²+1)−k 의 성질을 분석하고, ε(k) 가 영이면 모든 작은 k에 대해 영이며, 양수이면 Ω(1/k) 하한을 가진다는 두 가지 경우를 증명한다. 이를 통해 “ε(k) 의 무한급수 ∑ₖ ε(k) 가 수렴한다 ⇔ 에르되시 추측이 참이다” 라는 동치 관계를 제시한다. 정삼각형과 평행사변형에 대해서도 동일한 구조가 적용됨을 보이며, 문제의 보편성을 강조한다.

상세 분석

논문은 먼저 f(n) 을 “단위 정사각형(또는 단위 정삼각형) 안에 n개의 서로 겹치지 않는 정사각형(정삼각형)을 배치했을 때 변 길이의 총합의 최댓값”으로 정의한다. 이때 Cauchy‑Schwarz 부등식을 이용하면 f(n²)=n이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다. 에르되시의 원래 추측은 f(k²+1)=k 를 모든 양의 정수 k에 대해 주장한다. 저자는 이를 직접 증명하기보다는 f가 만족하는 일반적인 부등식

  a f(m) ≤ a² − b² + b f(b² − a² + m)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      …