사이클로토믹 다항식으로 확장된 맥마혼 급수

초록

본 논문은 맥마혼 급수를 N번째 사이클로토믹 다항식으로 일반화한 새로운 q-급수 𝒰ₜ,ₖ;N(Q;q)와 𝒰ₜ,ₖ;N⁎(Q;q)를 정의하고, 이를 오일러 다항식 전개와 가우스 합을 이용해 명시적 표현으로 전환한다. 결과적으로 이 급수들이 가중이 혼합된 준모듈러 형태임을 보이며, 특히 가중이 tk 이하이고 레벨이 N 이하인 준모듈러 형식으로 나타난다. 또한 이 급수들은 변수 𝒰ₛ,ₖ;N(Qₛ;q) 에 대한 동차 다항식(isobaric polynomial) 구조를 갖는다.

상세 분석

논문은 먼저 기존 맥마혼 급수 Uₜ(q)=∑{1≤n₁<…<nₜ}∏{j=1}^t q^{n_j}(1−q^{n_j})^{-2} 의 모듈러·준모듈러 성질을 상기한다. 이를 바탕으로 저자는 임의의 양의 정수 t, k, N 과 다항식 Q(x) 에 대해 \