스케일러블 데이터 기반 도달 가능성 분석 및 제어를 위한 쿠프만 연산자와 컨포멀 보장

초록

본 논문은 알려지지 않은 비선형 시스템에 대해 뉴럴 네트워크 기반 쿠프만 승강 함수를 이용해 선형 근사 모델을 학습하고, 이를 활용해 닫힌 루프 추적 제어와 도달 가능 집합을 고차원 공간에서 효율적으로 계산한다. 모델 불일치를 정량화하기 위해 컨포멀 예측을 적용해 통계적으로 유효한 오류 경계를 제공하고, 이 경계를 도달 가능 집합에 팽창시켜 사용자가 지정한 확률 수준에서 실제 궤적을 포함하도록 보장한다. 제안 방법은 참조 궤적 분포 전반에 걸쳐 재사용 가능하며, MuJoCo 기반 고차원 로봇 과제에서 기존 기법 대비 커버리지, 계산 효율성 및 보수성에서 우수함을 실증한다.

상세 분석

이 연구는 데이터 기반 안전 검증 분야에서 두 가지 핵심 난제를 동시에 해결한다. 첫 번째는 비선형 동역학을 선형 형태로 변환해 계산 복잡성을 낮추는 문제이며, 두 번째는 모델 추정 오차가 안전 보증에 미치는 영향을 정량화하고 통계적 신뢰성을 확보하는 문제이다. 저자들은 쿠프만 연산자 이론에 기반해, 고차원 상태를 저차원 선형 공간으로 매핑하는 뉴럴 네트워크(NN) 승강 함수를 설계한다. 이 NN은 입력-출력 데이터 쌍을 통해 학습되며, 학습 과정에서 선형 동역학 매개변수와 함께 최적화된다. 결과적으로 얻어지는 선형 모델은 전통적인 선형 시스템 이론을 그대로 적용할 수 있게 해, LQR이나 MPC와 같은 선형 제어 설계 기법을 그대로 활용한다는 장점이 있다.

제어 설계 단계에서는 목표 궤적을 확률 분포로 모델링하고, 선형화된 공간에서 해당 분포를 추적하도록 최적 제어 입력을 계산한다. 이렇게 얻어진 닫힌 루프 시스템은 선형이므로, 다변량 정규분포의 전파와 같은 확률적 도달 가능 집합(Reachable Set) 계산이 행렬 연산 수준에서 수행될 수 있다. 그러나 선형 근사는 근본적인 모델 오차를 내포하고 있기 때문에, 단순히 선형 도달 가능 집합을 그대로 사용하면 실제 시스템이 해당 집합을 벗어날 위험이 있다.

이를 보완하기 위해 저자들은 컨포멀 예측(conformal prediction) 프레임워크를 도입한다. 컨포멀 예측은 검증 데이터로부터 비정규화된 잔차 분포를 추정하고, 지정된 신뢰 수준 α에 대해 남은 오류를 상한값으로 변환한다. 이 상한값은 시간에 따라 동적으로 변할 수 있으며, 선형 도달 가능 집합에 균등하게 팽창시켜 ‘컨포멀 보장된’ 도달 가능 집합을 만든다. 중요한 점은 이 오류 경계가 특정 참조 궤적에 종속되지 않고, 전체 참조 분포에 대해 일반화된다는 것이다. 따라서 새로운 목표가 주어져도 기존에 계산된 오류 경계를 재사용할 수 있어, 실시간 혹은 반복적인 검증 작업에서 큰 효율성을 제공한다.

실험에서는 11차원 Hopper, 28차원 Swimmer, 12차원 쿼드콥터와 같은 고차원 MuJoCo 시뮬레이션 환경을 사용했다. 비교 대상은 기존의 샘플 기반 도달 가능 분석, 비선형 구간 연산, 그리고 딥러닝 기반 불확실성 추정 방법이다. 결과는 제안 방법이 동일한 계산 시간 내에 더 높은 실제 궤적 포함 비율(coverage rate)을 달성했으며, 특히 높은 차원에서의 보수성(집합 부피)이 크게 감소함을 보여준다. 이는 선형화와 컨포멀 보정이 결합될 때, 복잡한 비선형 시스템에서도 실용적인 안전 검증이 가능함을 입증한다.

이 논문의 주요 기여는 다음과 같다. (1) 뉴럴 네트워크 기반 쿠프만 승강을 통해 비선형 시스템을 선형화하고, 선형 제어와 도달 가능 분석을 대규모 문제에 적용 가능하도록 확장하였다. (2) 컨포멀 예측을 이용해 모델 불확실성을 통계적으로 유효한 방식으로 정량화하고, 이를 도달 가능 집합에 직접 반영함으로써 사용자가 지정한 신뢰 수준을 보장하였다. (3) 오류 경계의 일반화 가능성을 입증함으로써, 다양한 참조 궤적에 대해 재계산 없이 안전 검증을 수행할 수 있는 실용적인 프레임워크를 제공하였다. 이러한 접근은 로봇 제어, 자율 주행, 항공우주 시스템 등 안전이 필수적인 고차원 비선형 시스템에 즉시 적용될 수 있을 것으로 기대된다.