일반화된 퀘시‑플로렌틴 직사각형을 이용한 비주기 도플러 저항 보완 시퀀스 집합의 점근 최적 설계

초록

본 논문은 기존 퀘시‑플로렌틴 직사각형을 일반화한 “일반화된 퀘시‑플로렌틴 직사각형”을 정의하고, 이를 기반으로 Butson‑형 Hadamard 행렬과 결합한 새로운 비주기 도플러 저항 보완 시퀀스(DRCS) 집합을 제시한다. 제안된 DRCS는 최근 알려진 하한과 점근적으로 일치함을 증명하여, 파라미터 선택 범위가 넓고 실제 고이동 통신·센싱 시스템에 적용 가능함을 보여준다.

상세 분석

논문은 먼저 Golay 보완쌍(GCP)과 그 확장인 상보적 시퀀스(CS), 상보적 직교 시퀀스 집합(MOCSS)까지의 배경을 정리하고, MOCSS가 플록 크기(flock size) 제한으로 인해 대규모 사용자 지원에 한계가 있음을 지적한다. 이를 극복하기 위해 QCSS(Quasi‑Complementary Sequence Set)와 도플러 저항 보완 시퀀스(DRCS)의 개념을 도입한다. DRCS는 각 펄스마다 서로 다른 시퀀스를 전송하고, 수신단에서 AF(Ambiguity Function)를 합산함으로써 지연‑도플러 평면 전역에서 낮은 사이드로브를 달성한다. 기존 연구에서는 주기적 DRCS에 대해 Florentine 직사각형을 이용한 최적 설계가 제시되었고, 비주기적 경우에는 quasi‑Florentine 직사각형과 Butson‑형 Hadamard 행렬을 결합한 설계가 알려졌다. 그러나 이들 방법은 N(시퀀스 길이) 값에 따라 행 수(플록 크기)가 제한되어, 특정 N에 대해 최적 비주기 DRCS를 구성하기 어려웠다.

핵심 기여는 “일반화된 퀘시‑플로렌틴 직사각형”(Generalized Quasi‑Florentine Rectangle, GQFR) 정의이다. 기존 quasi‑Florentine 직사각형은 각 행에 하나의 원소가 빠진 형태였지만, GQFR은 각 행에 N‑n개의 원소가 빠질 수 있도록 일반화한다(2 ≤ n ≤ N). 이때 행 수를 F_{Q,n}(N)이라 두고, n을 조절함으로써 기존 구조보다 더 많은 행을 확보할 수 있다. 특히 n = N‑1(즉, 기존 quasi‑Florentine)에서는 행 수가 제한적이지만, n = N‑c (c ≥ 2)로 확장하면 F_{Q,c}(N)=F(N) 혹은 F_{Q,1}(N)와 동일한 행 수를 유지하면서 열 수를 N‑c 로 줄일 수 있다. 논문은 두 가지 구성법을 제시한다: (i) Florentine 직사각형의 좌·우측 c 열을 삭제하여 GQFR을 얻는 방법, (ii) quasi‑Florentine 직사각형의 좌·우측 c‑1 열을 삭제하는 방법. 이 과정에서 행 수는 그대로 유지되지만, 각 행에 포함되는 심볼 수가 감소해 n이 조정된다.

다음으로 GQFR과 Butson‑형 Hadamard 행렬 B H(N,r)을 결합해 DRCS 집합을 구성한다. Butson‑형 Hadamard 행렬은 복소수 원소 ω^{b_{i,j}} (b_{i,j}∈ℤ) 로 이루어지며, B H·B H^H = N I 를 만족한다. 이러한 행렬을 Kronecker 곱으로 확장하면 알파벳 크기 r를 자유롭게 조절할 수 있다. 논문은 seed 행렬(알파벳 크기 ≤ 7) 목록을 제시하고, 필요에 따라 Kronecker 곱을 이용해 원하는 차원·알파벳을 얻는 절차를 설명한다.

구성된 DRCS 집합 C는 K개의 보완 시퀀스 블록을 포함하고, 각 블록은 M≥2개의 시퀀스로 이루어진다. 비주기적 AF(ambiguity function)의 최대값 θ̂_max는 정의된 영역 Π=(−Z_x,Z_x)×(−Z_y,Z_y) 내에서 측정된다. 논문은 기존 문헌