병렬 휴리스틱 탐색을 통한 행렬곱 가산 복잡도 감소

초록

본 논문은 삼진 계수(−1,0,1)만을 사용하는 빠른 행렬곱 알고리즘의 가산 연산 수를 줄이기 위해, 다수의 CSE(공통 부분식 제거) 과정을 병렬로 실행하고, 새로운 Greedy‑Intersections 휴리스틱을 포함한 여러 선택 전략을 조합하는 무작위 탐색 기법을 제안한다. 149개의 기존 스키마에 대해 57개의 최적 순위 스키마에서 새로운 최저 가산 수를 기록했으며, 전체적으로 Greedy‑Potential 대비 102개에서 개선, 45개에서 동등, 2개에서 열세를 보였다. GPU와 CPU 양쪽 구현을 제공하고, 모든 코드와 결과를 오픈소스로 공개한다.

상세 분석

이 연구는 행렬곱 스키마의 가산 복잡도 최적화라는 전형적인 NP‑hard 문제에 대해, 정확한 평가 대신 빠른 근사 점수를 이용한 휴리스틱을 대규모 병렬 환경에서 적용함으로써 탐색 효율을 크게 향상시켰다. 핵심 아이디어는 “쌍 대체” 형태의 공통 부분식을 반복적으로 삽입하는 전통적인 CSE 절차를 유지하면서, 어떤 쌍을 선택할지 결정하는 전략을 다양화하는 것이다. 기존 Greedy‑Potential은 후보 쌍을 실제로 적용해 본 뒤 새로 생기는 대체 가능성을 계산해 점수를 매겼지만, 이는 모든 표현식에 대해 재분석을 해야 하므로 O(m²·ne) 복잡도가 발생한다. 반면 제안된 Greedy‑Intersections는 현재 쌍 빈도와 두 쌍 간 교차 여부만을 이용해 기대 이득을 추정한다. 구체적으로 H(sp)= (c_sp−1) + α·∑_{sq} I(sp,sq) 형태의 점수를 계산하고, I는 교차가 없을 때는 c_sq−1, 교차가 있을 때는 확률적으로 0 또는 β·(c_sq−1) 값을 부여한다. α와 β는 각각