프레셰 도함수의 조던 표준형 완전 해석

초록

본 논문은 대수적으로 닫힌 특성 0 체에서 다항식 함수의 프레셰 도함수 (D f(A)) 를 행렬 (A) 와 다항식 (f) 의 조던 표준형(JCF) 으로부터 직접 구하는 방법을 제시한다. 일반적인 이중 변수 다항식 (p(x,y)=\sum a_{ij}x^{i}y^{j}) 에 대해 행렬 (X) 와 (Y) 의 Kronecker 곱 선형 결합 (\sum a_{ij}X^{i}\otimes Y^{j}) 의 JCF 를 분석하고, 비특이 경우(조건 (6) 만족)에는 정확한 블록 크기를, 특이 경우에는 블록 수와 크기에 대한 상한을 제공한다. 특히 (X=Y^{T}) 인 경우는 프레셰 도함수의 Kronecker 형태가 되며, 이를 통해 Higham이 제시한 연구 문제 3.11을 완전히 해결한다.

상세 분석

논문은 먼저 행렬 (A) 와 다항식 (f) 에 대해 프레셰 도함수 (D f(A)) 를 Kronecker 형태 (K(f,A)=\sum_{i,j}f_{i}i,A^{j}\otimes A^{i-j}) 로 표현한다는 기존 결과를 재정리한다. 이후 일반적인 이중 변수 다항식 (p(x,y)=\sum_{i,j}a_{ij}x^{i}y^{j}) 에 대해 두 행렬 (X\in\mathbb{F}^{m\times m},Y\in\mathbb{F}^{n\times n}) 로 만든 선형 결합
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