고차 거듭제곱 표현 함수 디리클레 급수에 대한 명시적 하한

초록

본 논문은 짝수 차수 2m의 고차 거듭제곱을 k개의 부호가 있는 정수 합으로 나타내는 표현 함수 r_{m,k}(n) 에 대해, 해당 함수의 디리클레 급수 S_{m,k}(a)=∑{n≥0} r{m,k}(n)/(n+a) 의 명시적 하한을 두 가지 방법으로 제시한다. 첫 번째는 격자 구조를 대각선 부분 격자로 제한하는 기하학적 접근이며, 두 번째는 일반화된 코탄젠트 급수와 θ-함수의 적분 표현에 Hölder 부등식을 적용한 분석적 접근이다. 두 하한 모두 k<2m이라는 수렴 조건 하에 유효하며, 모듈러 이론을 사용하지 않고도 고차 거듭제곱 표현 문제에 적용 가능한 유연한 프레임워크를 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 짝수 차수 2m의 고차 거듭제곱을 k개의 정수 변수 x_i (i=1,…,k) 로 합산하여 n을 표현하는 함수 r_{m,k}(n)=#{(x_1,…,x_k)∈ℤ^k : x_1^{2m}+…+x_k^{2m}=n} 를 정의한다. 이 함수는 전통적인 제곱합 문제와 달리 모듈러 형태가 없으므로, 기존의 θ-함수와 라마누잔‑앤드류스식 접근을 일반화한 새로운 도구가 필요하다. 저자는 이전 연구