블록 인코딩 없이 구현하는 헤르미티안 행렬 함수 합성: 대칭 유니터리 전개와 GQSP 활용

초록

본 논문은 헤르미티안 행렬 (A) (‖A‖≤1)를 블록 인코딩 없이 두 유니터리 (U=A+i p(I-A^{2})) 와 (U^{\dagger}) 의 대칭 조합으로 표현하고, 이를 Generalized Quantum Signal Processing(GQSP) 회로에 적용해 任意 다항식 (P(A)) 을 효율적으로 합성하는 방법을 제안한다. 기존 Qubitization·QSP·QSVT가 요구하던 ancilla와 각도 합성 비용을 크게 절감하면서도, 다항식 전개와 보완 다항식 (Q) 구축을 통해 회로 깊이를 제한한다.

상세 분석

이 연구는 헤르미티안 행렬을 직접 유니터리 형태로 매핑하는 새로운 대칭 전개 식 (A=\frac{1}{2}(U+U^{\dagger})) 을 도입함으로써 블록 인코딩의 근본적인 한계를 회피한다. 여기서 (p) 는 스칼라 파라미터이며, (U) 와 (U^{\dagger}) 는 각각 (A) 와 (-A) 의 복소수 회전 형태를 갖는다. 논문은 레마 1을 통해 모든 정수 (n)에 대해 (A^{n}=R_{n}(U)+R_{n}(U^{\dagger})) 라는 다항식 (R_{n}) 이 존재함을 증명하고, 이때 (R_{n}) 은 짝수·홀수 차에 따라 구분되는 이항계수 조합으로 명시된다. 이러한 전개는 GQSP 프레임워크와 자연스럽게 결합된다. GQSP는 목표 다항식 (P(z)) 에 대해 보완 다항식 (Q(z)) 을 찾아 (|P(e^{i\theta})|^{2}+|Q(e^{i\theta})|^{2}=1) 을 만족하도록 함으로써 회로 내 각도 합성 문제를 대수적 제약으로 전환한다. 본 논문은 두 가지 보완 다항식 생성 방법을 제시한다: (1) 단위 원 위의 근을 이용한 명시적 해법, (2) 비선형 최적화를 통한 실용적 접근. 특히, 보완 다항식이 존재하면 GQSP 회로는 (\frac{1}{2}|0\rangle P(U)+\frac{i}{2}|1\rangle Q(U)) 형태의 상태를 생성하므로, (P(A)) 를 얻기 위해서는 (U) 와 (U^{\dagger}) 에 대한 대칭 GQSP 회로를 선형 결합하면 된다. 이 과정에서 ancilla는 (|0\rangle) 한 개만 필요하고, 각도 합성은 닫힌 형태 식으로 바로 계산 가능하므로, 기존 QSP·QSVT가 요구하던 복잡한 최적화와 다중 LCU 호출을 제거한다. 복잡도 측면에서, 차수 (d) 의 다항식에 대해 회로 깊이는 (O(d)) 이지만, 블록 인코딩을 위한 추가 제어 연산이나 포스트 선택 확률이 사라져 실제 실행 시간과 오류 전파가 크게 감소한다. 또한, 제안된 방법은 (A) 가 희소하거나 구조적 제약을 갖는 경우에도 유니터리 (U) 와 (U^{\dagger}) 를 직접 구현할 수 있으면 적용 가능하므로, 기존 블록 인코딩이 어려운 고차원 시스템에 유리하다. 한계점으로는 (U) 와 (U^{\dagger}) 의 구현 비용이 문제될 수 있으며, 보완 다항식 (Q) 의 근 찾기가 고차 다항식에서는 여전히 계산적으로 무거울 수 있다. 그러나 최적화 기반 접근법이 이를 완화한다는 점에서 실용적이다.