가우시안 상태를 위한 양자 워셔스테인 거리

초록

본 논문은 De Palma‑Trevisan의 양자 최적 수송 프레임워크를 이용해, 한 모드 가우시안 상태 두 개 사이의 2차 워셔스테인 거리에 대한 일반적인 폐쇄식 해를 제시한다. 공분산 행렬만으로 거리값을 계산할 수 있으며, 고전 가우시안 분포와 열역학적(thermal) 상태에 대한 기존 결과를 특수 경우로 복원한다.

상세 분석

양자 최적 수송 이론은 고전적인 커플링 개념을 양자 채널이라는 완전 양자 연산에 대응시켜, 두 밀도 행렬 ρ_A, ρ_B 사이의 최소 비용을 정의한다. 비용 함수는 2차 형태 C = ∑_i( R_i⊗𝟙 − 𝟙⊗R_i^T )² 로 설정되어, 연산자는 연속 변수 시스템의 위치·운동량 쿼드라티크 R_i에 작용한다. 이때 최적 비용은 제곱 워셔스테인 거리 D²(ρ_A, ρ_B) 로 정의된다.

가우시안 상태는 평균 벡터 d와 공분산 행렬 γ 로 완전히 기술되며, Williamson 정리를 통해 γ = S diag(ν₁,…,ν_n) Sᵀ 로 분해된다. 한 모드 경우 ν = √det γ 가 단일 심플렉틱 값이 된다. 논문은 양자 채널이 가우시안 커플링을 유지한다는 사실을 이용해, 최적 커플링 Π의 공분산 행렬을
γ_Π =