열 흐름 아래 다항식 거듭제곱 영점의 진화와 극한 분포

초록

고정된 다항식 (P(z)) 의 (n)제곱을 열 흐름에 적용하면, (n\to\infty)일 때 영점들의 경험적 분포가 복소평면에 하나의 확률측도 (\mu_t) 로 수렴한다. 저자는 (\mu_t)를 시간 (t) 에 따라 반세원형, 복잡한 곡선, 그리고 큰 (t) 에서는 다시 반세원형으로 변하는 과정을 정확히 기술하고, 그 Stieltjes 변환이 자기일관 방정식과 Burgers 방정식을 만족함을 보인다.

상세 분석

본 논문은 복소수 근을 갖는 임의의 고정 다항식 (P(z)=\prod_{j=1}^{d}(z-\lambda_j)^{\alpha_j}) 에 대해, 그 (n)제곱 (P_n(z)=P(z)^n) 에 역열 흐름 연산자 (e^{-t^2\alpha_n\partial_z^2}) 을 적용한 다항식 (P_{n,t}(z)) 의 영점 분포를 연구한다. 핵심은 (n\to\infty)에서 영점들의 경험적 측도
\