경험적 측정의 부정 Sobolev 수렴 속도

초록

본 논문은 i.i.d. 표본으로 구성된 경험적 측정 μ_N이 원본 확률 측정 μ에 대해 부정 Sobolev 공간 (W^{-\alpha,p}(\mathbb{R}^d))에서 수렴하는 속도를 분석한다. α와 p가 만족하는 조건에 따라, 점측정이 포함되는 경우에는 (\mathbb{E}|μ_N-μ|{W^{-\alpha,p}}^p \le C_d N^{-p/2}) 와 가우시안 꼬리 추정이 얻어지며, 포함되지 않을 때는 가우시안 정규화 (\mu\varepsilon = μ * Φ_\varepsilon)를 이용해 유사한 결과를 도출한다.

상세 분석

논문은 먼저 부정 Sobolev 공간 (W^{-\alpha,p}(\mathbb{R}^d))의 norm을 열핵(heat kernel) 기반 정의로 고정한다. 이 정의는 (|u|{W^{-\alpha,p}} = \bigl(\int_0^1 t^{\alpha p/2-1}|u * Φ_t|{L^p}^p dt\bigr)^{1/p}) 형태이며, 전통적인 듀얼 정의와 동등함을 Appendix D of AKM19에서 증명한다. 핵심 결과는 두 경우로 나뉜다. 첫 번째는 (\alpha p > (p-1)d) 즉, (W^{-\alpha,p})가 점측정(Dirac delta)을 포함하는 경우이다. 이때 저자들은 (\mathbb{E}|μ_N-μ|{W^{-\alpha,p}}^p \le C_d N^{-p/2}) 를 보이며, 상수 (C_d)는 차원 d에만 의존하는 명시적 형태를 갖는다. 또한 마코프 부등식과 마디아르디(McDiarmid) 불변량을 이용해 (|μ_N-μ|{W^{-\alpha,p}})가 서브가우시안 꼬리를 갖는다는 Gaussian tail bound을 얻는다:
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