벤트 함수 기반 NOMA 코드북 설계와 최적 코히어런스 구현

초록

본 논문은 업링크 그랜트‑프리 NOMA 시스템에서 저 PAPR와 낮은 코히어런스를 동시에 만족하는 코드북을 설계한다. 이때 이진 골레이 시퀀스를 이용해 2⁴ᵐ 길이의 골레이 시퀀스 6·N개를 생성하고, 코히어런스를 1/√N 으로 최소화하는 재귀적 벤트 함수 구성을 제안한다.

상세 분석

이 연구는 NOMA 시스템에서 스프레딩 시퀀스의 두 가지 핵심 요구사항, 즉 피크‑투‑평균 전력비(PAPR)와 상호 간섭을 최소화하는 코히어런스 값을 동시에 만족시키는 코드북 설계 문제를 다룬다. 기존 연구에서는 골레이 시퀀스가 PAPR ≤2 를 보장한다는 점을 활용했으며, 이러한 시퀀스를 생성하는 근본적인 수학적 구조가 2차 벤트 함수와 연결된다는 사실을 이용한다. 논문은 먼저 골레이‑다비스‑제드와브(GDJ) 시퀀스가 2ⁿ 길이의 이진 골레이 시퀀스와 1차 레미드르(RM) 코드의 코셋으로 표현될 수 있음을 재정리한다. 여기서 핵심은 n 변수 2차 벤트(또는 near‑bent) 함수 Qπ(x)=∑{i=1}^{n-1} x{π(i)}x_{π(i+1)} 의 형태이며, 서로 다른 순열 π₁,π₂에 대해 Qπ₁(x)+Qπ₂(x)가 짝수 n에서는 벤트, 홀수 n에서는 near‑bent가 되도록 하는 ‘호환(permutable)’ 순열 집합을 찾는 것이 목표가 된다.

코히어런스 μ(Φ)=1/√(2·r_min) 로 정의되며, 여기서 r_min 은 모든 서로 다른 순열 쌍에 대한 대칭 행렬 B_{ℓ₁,ℓ₂} (Qπℓ₁+Qπℓ₂ 의 이차항을 나타내는 symplectic matrix)의 최소 랭크이다. 따라서 r_min 을 n(짝수) 혹은 n‑1(홀수) 에 가깝게 만들면 코히어런스를 이론적 최소값 1/√N 에 근접시킬 수 있다. 기존 방법은 작은 n 에 대해서는 전산 탐색이나 그래프 기반 기법으로 호환 순열 집합을 찾았지만, n≥9 가 되면 탐색 복잡도가 급격히 증가한다.

본 논문은 이러한 한계를 극복하기 위해 ‘재귀적 확장’ 전략을 제안한다. 먼저 차원 4(즉 n=4) 에서 가능한 모든 호환 순열 집합을 완전 분석한다. 차원 4의 호환 집합은 크기 6을 갖으며, 이는 I_{S₄} (항등 순열과 호환되는 순열) 와 그 변형들로 구성된다. 이후 차원 4m (m≥2) 에 대해, 차원 4와 차원 4(m‑1) 의 호환 집합을 결합하는 연산을 정의한다. 구체적으로, S_{n+m} 의 순열을 (π,ρ) 형태로 분해하고, π∈I_{S_n}, ρ∈I_{S_m} 일 때 Q_{π⊕ρ}(x) 가 벤트/near‑bent 특성을 유지함을 증명한다. 이를 통해 차원 4m 에서도 동일한 크기 6·2^{4m} 의 호환 순열 집합을 재귀적으로 구축할 수 있다.

결과적으로, 제안된 코드북은 N=2^{4m} 길이의 골레이 시퀀스 6·N 개를 포함하고, 코히어런스는 μ=2^{-2m}=1/√N 로 이론적 최저값에 도달한다. 이는 기존에 최소 소수인 p 를 이용한 Gold 함수 기반 방법보다 일반적인 n 에 대해 더 큰 오버로드 팩터 L을 제공한다. 또한, 모든 시퀀스가 이진 골레이 특성을 갖기 때문에 PAPR ≤2 를 보장한다. 논문은 수학적 증명 외에도 작은 m (예: m=1,2) 에 대한 구체적인 순열 예시와 해당 코드북의 구조를 제시하여 실용성을 강조한다.

요약하면, 이 연구는 2차 벤트 함수의 대칭 행렬 랭크와 Walsh‑Hadamard 스펙트럼을 이용해 NOMA 스프레딩 매트릭스의 코히어런스를 최소화하고, 재귀적 순열 구성법을 통해 무한히 큰 차원에서도 실용적인 코드북을 생성할 수 있음을 입증한다.