무위험 가정이 파생상품 가격함수의 미분가능성을 보장한다

초록

본 논문은 연속 마코프 세미마르티갈인 가격 과정에 대해, 무위험(NFLVR) 가정이 적용되면 해당 파생상품 가격을 나타내는 함수가 입력 과정에 대해 약한 미분성을 가져야 함을 증명한다. 이를 위해 함수가 Itô 과정에서 세미마르티갈로 변환되는 필요충분조건을 제시하고, 이러한 조건이 기존 Sobolev 공간보다 약함을 보인다. 결과적으로 자산 가격의 델타(Δ)는 항상 정의되지만, 세타(Θ)·감마(Γ) 등은 보장되지 않는다. 또한, 입력 과정이 Malliavin 미분가능하면 출력 과정도 동일하게 미분가능함을 보여준다.

상세 분석

논문은 먼저 확률공간 ((\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t),\mathbb{P})) 위에서 연속 마코프 세미마르티갈인 (X)를 정의하고, 그에 대한 SDE (dX_t=b(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t)를 가정한다. 가정 2.1은 계수 (b,\sigma)의 유계·연속성 및 비퇴화 조건을 포함한다. 이러한 조건 하에 (X)는 강한 마코프 성질을 가지며 전이밀도 (p(t,x))가 존재한다.

핵심은 두 종류의 함수 공간 (V^{L}{\mu}(\text{loc}))와 (\widehat V^{L}{\mu}(\text{loc}))를 정의하는데, 이는 전통적인 (C^{1,2}) 혹은 Sobolev 공간보다 약한 미분 개념을 사용한다. 구체적으로, (f\in V^{L}_{\mu}(\text{loc}))이면 (f)는 (C^{1,2}) 함수열 ((f_n))로 근사되고, 그에 대응하는 (L)-연산자 (L f_n)가 측도 (\mu)에 대해 적절히 수렴한다. 또한, 일반화된 기울기 (f_x)가 존재한다는 점이 강조된다.

정리 2.5는 두 부분으로 구성된다. 첫 번째는 (f\in V^{L}_{\mu}(\text{loc}))이면 (Y_t:=f(t,X_t))가 Itô 과정이며, Itô-세미마르티갈 분해
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