점와이즈 수렴은 메트릭으로는 잡을 수 없다

초록

본 논문은 강하게 두 번째 가산인 완비 거리공간 (M)과 비단위 경로 성분을 가진 거리공간 (N)에 대해, 함수공간 (F(M,N))에 점와이즈 수렴과 동등한 메트릭이 존재하지 않음을 증명한다. 이를 위해 불연속 함수 (\varphi)를 점와이즈 수렴하는 연속 함수열의 극한으로 구성하고, Baire 정리를 이용해 모순을 도출한다.

상세 분석

논문은 먼저 “강하게 두 번째 가산(strongly second countable)”이라는 개념을 정의한다. 이는 일반적인 두 번째 가산성에 더해, 가산한 조밀 부분집합 (D\subset M)의 여집합 (M\setminus D)도 조밀해야 함을 의미한다. 실수축 (\mathbb{R})와 그 유리수 부분집합 (\mathbb{Q})가 전형적인 예시로 제시된다.

주요 명제 0.2는 다음과 같은 가정을 둔다. (M)은 완비이며 강하게 두 번째 가산인 거리공간, (N)은 비단위 경로 성분을 가진 거리공간이다. 이때 (F(M,N))에 점와이즈 수렴과 동일한 수렴을 제공하는 메트릭 (d)는 존재하지 않는다. 증명은 귀류법으로 시작한다. 가정에 따라 점와이즈 수렴이 메트릭 수렴과 일치한다고 하면, (M)의 조밀 가산 집합 (D)와 그 여집합을 이용해 두 값 (a,b\in N) 사이를 연결하는 연속 경로 (\psi: