최대 비정제 분할의 개수와 구조

초록

본 논문은 삼각수에 국한됐던 최대 비정제(partition) 분류를 일반 정수 (N) 에 대해 확장한다. (N=T_n-d;(1\le d\le n-1)) 로 표현되는 비삼각수에 대해, 가장 큰 부품 (\lambda_t) 의 상한을 (2n-2,;2n-3,;2n-4,;2n-5) 로 정확히 규정하고, 해당 상한을 달성하는 최대 비정제 분할의 수를 “짝수/홀수에 따라 적절한 서로 다른 부품으로 이루어진 분할의 개수”와 일대일 대응시켜 구한다. 주요 결과는 (n\ge 11) 에 대해
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상세 분석

논문은 먼저 “비정제(partition)’’라는 개념을 정의한다. 서로 다른 부품들 (\lambda_1<\dots<\lambda_t) 로 이루어진 분할이 존재할 때, 누락된 부품 집합 (M_\lambda={1,\dots,\lambda_t}\setminus{\lambda_i}) 에서 두 개를 골라 합이 기존 부품 중 하나가 되면 그 분할은 정제가능(refinable)하다고 한다. 정제불가능한 경우를 ‘비정제’라 부르고, 그 중 가장 큰 부품 (\lambda_t) 가 가능한 최대값을 갖는 것을 ‘최대 비정제’라 정의한다.

삼각수 (T_n=n(n+1)/2) 에 대해서는 이전 연구