정확한 비선형 시스템 비선형화 프레임워크 EBIF

초록

본 논문은 제어‑선형 비선형 시스템을 유한 차원의 정확한 비선형(바이리니어) 형태로 변환하는 새로운 프레임워크인 Exact Bilinearization Iterative Form(EBIF)을 제안한다. Lie 미분과 모듈 이론을 활용해 시스템의 벡터장에 대한 불변 서브모듈을 구성하고, 이를 통해 유한 개의 부드러운 좌표함수를 반복적으로 생성한다. 결과적으로 원래 비선형 시스템과 정확히 동등한 비선형(바이리니어) 시스템을 얻으며, 이는 도달 가능성 분석 및 제어 설계에 직접 활용될 수 있다.

상세 분석

EBIF는 기존의 Carleman 선형화나 Koopman 기반 방법이 무한 차원으로 확장된 뒤 차원을 잘라내는 근사적 접근과 달리, 원 시스템과 완전히 동등한 유한 차원의 바이리니어 모델을 직접 구축한다는 점에서 혁신적이다. 핵심 아이디어는 시스템의 드리프트 벡터장 f와 입력 벡터장 g_i가 생성하는 자유 모듈 Γ를 정의하고, 이 모듈이 모든 벡터장에 대해 Lie 미분 연산 L_τ에 대해 불변(invariant)하도록 확장하는 것이다. 불변성은 Noetherian 성질을 이용해 연쇄적으로 새로운 함수들을 생성하면서 결국 안정화되는 유한 차원의 기저를 제공한다. 논문은 이러한 과정이 “Lie invariance”라는 수학적 조건과 동등함을 증명하고, 불변 서브모듈이 존재하면 정확한 임베딩 Ψ:ℝⁿ→ℝʳ을 구성할 수 있음을 보인다. Ψ는 각 좌표함수 ψ_j가 반복적인 Lie 미분 L_f ψ_j, L_{g_i} ψ_j 등을 통해 선형 형태인 Az와 B_i z로 변환되도록 설계된다. 따라서 변환 후 시스템 Σ_b는 ˙z = Az + Σ_i u_i B_i z 형태의 고정 행렬 A, B_i만을 갖는 바이리니어 시스템이 된다.

이론적 기여는 다음과 같다. 첫째, 정확한 바이리니어화 가능성을 판단하는 필요충분조건을 제시한다. 둘째, Lie 미분을 모듈 수준에서 다루는 새로운 정의(Lie derivation over modules)와 그 불변성(Lie invariance)을 도입해 기존 벡터장 분석을 일반화한다. 셋째, 이러한 수학적 구조를 기반으로 실제 알고리즘을 제시하여, 초기 함수 집합을 선택하고 반복적으로 Lie 미분을 적용해 기저를 확장하는 절차를 구체화한다.

실용적 측면에서는, EBIF가 제공하는 바이리니어 모델을 이용해 도달 가능성 영역을 선형 대수적 방법으로 계산할 수 있으며, 최적 제어 문제에서도 Hamilton‑Jacobi‑Bellman 방정식의 차원을 크게 줄여 효율적인 해법을 얻는다. 논문은 유니사이클 로봇, 비선형 전기 회로 등 여러 사례에 대해 시뮬레이션을 수행했으며, 기존 Carleman 기반 근사와 비교했을 때 정확도와 계산 효율성 모두에서 우수함을 입증한다. 다만, 불변 서브모듈을 찾는 과정이 초기 함수 선택에 민감하고, 고차 비선형성(예: 다항 차수가 높은 경우)에서는 기저 크기가 급격히 증가할 가능성이 있다. 이러한 제한을 극복하기 위한 자동 함수 선택 및 차원 축소 기법이 향후 연구 과제로 제시된다.