p‑진수 파동함수의 경로 적분 이론

초록

본 논문은 p‑adic 다중 적분을 이용해 p‑adic 파동함수 Ψ(x)의 시간 진화를 기술하는 새로운 경로 적분 공식을 구축한다. Cₚ에서 정의된 파동함수에 대해 라플라시안 연산자의 부재를 보완하고, 자유 입자에 대한 페인만 전파자를 계산하여 고전적인 실수 경우와 구조적으로 동일함을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 기존의 p‑adic 양자역학에서 L²(Qₚ) → ℂ 형태의 파동함수를 다루던 전통적 접근법과 달리, 파동함수를 Cₚ → Cₚ 로 정의함으로써 새로운 수학적 도전을 제시한다. Cₚ‑값 함수에 대해 일반적인 라플라시안 연산자를 정의할 수 없기 때문에, 저자들은 전통적인 슈뢰딩거 방정식 대신 경로 적분 방식을 채택한다. 이를 위해 Zelenov가 제시한 p‑adic 선적분 이론을 기반으로, Qₚ 상의 선형 순서를 이용해 구간을 체계적으로 분할하고, 각 구간에 대해 p‑adic 디랙 델타 측정을 도입한다.

핵심은 (2.5) 식에서 정의된 n번째 전파자 U⁽ⁿ⁾(y,t;x,t₀)이다. 여기서는 각 구간의 길이를 ϵₙ = pⁿ 로 두고, 입자 궤적 x(t)를 p‑adic 아날리틱 곡선으로 가정한다. 라그랑지안 L = m·ẋ²/2 – V(x) 를 사용해 구간별 작용 S