스트립 포장 문제에서 바텀 레프트 알고리즘의 13분의6 근사 비율

초록

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본 논문은 바텀‑레프트(Bottom‑Left) 알고리즘에 새로운 사전 정렬인 F Q W ordering을 적용해, 스트립 포장 문제에서 기존 3‑근사 한계를 넘어 13/6 ≈ 2.167의 절대 근사 비율을 달성함을 증명한다.

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상세 분석

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스트립 포장 문제는 고정된 폭 W 와 무한 높이를 가진 직사각형 스트립에 주어진 직사각형 집합 R 을 겹치지 않게 배치하면서 전체 높이를 최소화하는 NP‑hard 문제이다. 바텀‑레프트 알고리즘은 사전에 정해진 순서대로 각 직사각형을 “가능한 가장 낮은 위치, 그 중 가장 왼쪽”에 놓는 단순한 휴리스틱으로, 정렬에 따라 성능이 크게 달라진다. 기존 연구에서는 폭을 내림차순으로 정렬하면 3‑근사(즉, 최적 높이의 최대 3배)라는 상한만 알려졌으며, 45년간 이를 개선한 정렬은 발견되지 않았다.

본 논문은 직사각형을 세 집합 F, Q, W 로 분할하는 F Q W partition을 도입한다.

• F: 높이가 큰 직사각형들을 폭 합이 W 이하가 되도록 내림차순으로 선택해 바닥에 나란히 배치한다. 이는 “가장 높은 직사각형들을 먼저” 배치함으로써 이후의 빈 공간을 최소화한다.
• W: 폭이 W/2 보다 큰 직사각형들로, 이들은 한 번에 한 열에만 배치될 수 있어 배치 순서가 중요하다.
• Q: 나머지 직사각형들로, 폭·높이가 중간 범위에 해당한다.

알고리즘은 먼저 F 집합을 모두 배치하고, 그 다음 W 집합을 폭 기준으로 내림차순 정렬, 마지막으로 Q 집합을 임의 순서(또는 특정 기준)로 배치한다. 이 정렬은 “높이‑폭‑중간”이라는 3단계 구조를 만들며, 각 단계에서 발생하는 수평 구역(H‑region)의 차지율을 정밀히 분석한다.

핵심 기술은 수평 구역(H‑region) 분석과 **수평선 차지율(Lemma 2, 3)**이다. H‑region은 BL‑패킹에서 각 직사각형 r_i 의 바닥면 아래와 이전 직사각형들의 바닥면 위 사이의 영역으로 정의된다. Lemma 2는 H‑region 내 임의의 적절한 수평선에서 빈 공간의 폭이 현재 직사각형 w_i 보다 작아야 함을 보이며, 이는 BL‑알고리즘이 더 낮은 위치에 놓지 못했음을 의미한다. Lemma 3은 해당 수평선이 k 개의 직사각형에 의해 가로지르면, 최소 k/(2k+1) 이상의 차지율을 갖는다는 일반적 경계를 제공한다.

F Q W 정렬을 적용하면 대부분의 H‑region은 k ≥ 1 인 경우 차지율이 ≥ 1/2 가 되지만, 특히 W 집합에 속하는 넓은 직사각형이 포함된 구역에서는 차지율이 약 0.45 정도까지 떨어진다. 이를 보정하기 위해 논문은 **특수 구역에 대한 이차 계획법(quadratic program)**을 설계해 전체 빈 면적의 상한을 정밀히 계산한다. 최종적으로 전체 차지된 면적이 W·h_OPT 의 13/6 배 이하임을 보이며, 이는 BL‑패킹 높이가 최적 높이의 13/6 배를 초과하지 않음을 의미한다.

이러한 분석은 기존 3‑근사 증명(폭 내림차순 정렬)보다 더 세밀한 영역 구분과 차지율 추정을 통해 상수를 크게 낮춘다. 또한, F Q W 정렬이 “높은 직사각형을 바닥에 가깝게, 넓은 직사각형을 중간에, 나머지를 뒤에” 배치함으로써 빈 공간을 최소화하고, BL‑알고리즘의 본질적 한계인 “앞선 직사각형이 왼쪽·아래를 차단”하는 현상을 효과적으로 제어한다는 점이 핵심 통찰이다.

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