블록 직교 랜치오스 행렬 함수 트레이스 추정기 BOLT

초록

BOLT은 블록 단위 직교 프로브와 Lanczos 반복을 결합해 대규모 행렬의 함수 트레이스를 효율적으로 추정한다. 전체 행렬-벡터 연산이 불가능한 상황에서도 작은 서브블록만으로 정확도를 유지하며, Hutch++보다 변동성이 낮고 구현이 간단하다. 또한 Subblock SLQ 변형을 통해 메모리 제한 환경에서 KL 발산과 Wasserstein‑2 거리까지 추정한다.

상세 분석

본 논문은 대규모 양의 정부호 행렬 A에 대해 tr f(A) 를 추정하는 새로운 확률적 방법인 BOLT(Block‑Orthonormal Lanczos Quadrature)을 제안한다. 핵심 아이디어는 (i) Rademacher 혹은 표준 정규분포 엔트리를 갖는 n × b 행렬 Z를 무작위로 생성하고 QR 분해를 통해 직교 블록 V∈ℝ^{n×b}를 얻는 것, (ii) 이 블록을 초기 벡터 집합으로 삼아 k 단계 Lanczos 과정을 수행해 삼대각 행렬 T_i 를 만든 뒤, (iii) T_i 를 고유값 분해하여 Gaussian quadrature 가중치 w_{ij}와 노드 μ_{ij}를 얻어 f(·) 를 평가한다. 각 시도 i에 대해 η_i = Σ_j w_{ij} f(μ_{ij}) 를 계산하고, 최종 추정값은 (n/bq) Σ_i η_i 로 평균한다.

이 설계는 기존 Hutchinson 추정기의 스칼라 프로브를 블록 프로브로 확장함으로써 분산을 크게 감소시킨다. 정리 2.1에 따르면 Var