무한 반경 외부 구 조건과 구형 지원 성질의 새로운 연결

초록

본 논문은 기존 연구에서 도입된 구형 지원(spherically supported) 성질을 재조명하고, 모든 반경 r>0에 대해 외부 구 조건을 만족하는 ‘∞‑sphere condition’과의 정확한 관계를 밝힌다. 새로운 분석적 동등조건을 제시함으로써, 구형 지원 집합이 r‑강볼록(r‑strongly convex) 혹은 그 경계에 포함되는 구조임을 증명하고, 기존 결과의 증명을 보다 간결하고 직관적으로 개선한다.

상세 분석

논문은 먼저 근접법선(cone)와 구형 지원 개념을 정밀히 정의한다. 비제로 벡터 ζ∈NₚS(s)가 반경 r의 구에 의해 ‘실현(realized)’될 경우 ⟨ζ, x−s⟩≤−½r‖x−s‖²(∀x∈S)이며, ‘멀리 실현(far realized)’될 경우 ⟨ζ, x−s⟩≥½r‖x−s‖²가 된다. 이를 바탕으로 r‑prox‑regular, 외부 r‑sphere condition, r‑strongly convex, r‑spherically supported 네 가지 기하학적 성질을 정리한다. 특히 r‑spherically supported는 모든 경계점 s에 대해 적어도 하나의 비제로 법선이 ‘멀리 실현’되는 경우로, r‑prox‑regular보다 약하고 외부 r‑sphere condition보다 강한 조건이다.

주요 공헌은 두 단계로 나뉜다. 첫째, Proposition 1에서 r‑spherically supported를 네 가지 등가적인 분석적 식(내적 부등식, 거리 관계 등)으로 변환한다. 여기서 ‘boundedness’ 가정이 필요함을 명시하고, Cauchy–Schwarz 부등식을 이용해 (ii)⇒(iii) 등을 간단히 증명한다. 둘째, Theorem 2와 Theorem 3을 통해 외부 ∞‑sphere condition과 r‑spherically supported가 각각 convex 혹은 r‑strongly convex 구조를 강제한다는 사실을 밝힌다. Theorem 2는 외부 ∞‑sphere condition을 만족하는 집합이 비어 있지 않은 내부를 가질 경우 전체가 볼록이며, 내부가 비어 있으면 어떤 볼록 집합의 경계에 포함된다는 두 경우로 나눈다. 이 증명에서는 epi‑Lipschitz성, ∞‑prox‑regular성, 그리고 Clarke 법선의 비공집합성을 활용한다. Theorem 3은 r‑spherically supported 집합에 대해 동일한 논리를 적용하되, 반경 r이 고정된 구에 의해 제한되므로 ‘r‑strongly convex’라는 더 강한 형태의 볼록성을 도출한다. 특히, 내부가 비어 있지 않을 때는 집합 자체가 r‑strongly convex가 되고, 내부가 비어 있으면 r‑strongly convex 집합의 경계에 위치한다는 결론을 얻는다.

이러한 결과는 기존