양자 사슬에서 결함이 만든 비선형·비국소 교란

초록

단일 온사이트 결함이 주기적 1차원 타이트바인딩 격자에서 파동함수 전파를 어떻게 비선형·비국소적으로 변형시키는지를 정확히 분석하였다. 결함 기술을 이용해 라플라스 변환으로 정확한 사이트 점유 확률을 구하고, 평균 변위와 평균제곱변위(MSD)의 비단조적 억제, 먼 거리에서의 강화된 국소화, 초기 입자 위치에 대한 장기 민감성을 밝혀냈다.

상세 분석

본 논문은 기존에 무작위 전역 장애에 의해 발생하는 앤더슨 로컬라이제이션과 달리, 극히 제한된 몇 개의 결함이 고립된 양자 시스템의 전파 특성을 어떻게 지배하는지를 이론적으로 규명한다. 저자들은 1차원 주기적 경계조건을 갖는 타이트바인딩 모델(Hamiltonian H = −γ∑(|n+1⟩⟨n|+h.c.) − q|nd⟩⟨nd|)에 단일 온사이트 에너지 결함(q)만을 도입하고, 초기 입자가 n₀에 위치했을 때의 시간 의존 파동함수 ψ(n,n₀,t)를 라플라스 변환을 통해 Green 함수 G와 결함 기여 Φ(t)로 분리한다. 결함 기술(defect technique)은 고전적 랜덤워크에서의 자기일관식 G′ = G − G Π G′를 양자역학에 그대로 적용함으로써, 결함이 있는 경우의 전파 커널을 G + G·Φ·G 형태로 정확히 구한다. 이 과정에서 Chebyshev 다항식 Tₘ, Uₘ를 이용해 G의 라플라스 표현을 닫힌 형태로 전개하고, Φ(t)는 Q(ε)의 근(폴)들에 대한 잔여항 합으로 얻어진다.

결과적으로, 결함이 없는 경우 평균제곱변위(Δ₂(t))는 초기에는 탄성적(t²) 성장 후, 시스템 크기 N에 비례하는 시간 t★≈aN/γ에서 주기적 경계의 영향을 받아 진동을 보이며, 장기적으로는 N에 의존하는 정적값 Δ₂(∞)에 수렴한다. 이는 Lieb‑Robinson 경계에 의해 설명될 수 있다.

단일 결함이 추가되면, 점유 확률 P⁽ᵈ⁾ₙ(t)=Pₙ(t)+I⁽ᵈ⁾ₙ(t)+K⁽ᵈ⁾ₙ(t) 로 분리되며, I와 K는 각각 결함과 원래 전파 사이의 간섭항과 결함 자체의 기여를 의미한다. 중요한 점은 이 항들이 q와 결함·초기 위치 간 거리(|n−nd|,|n₀−nd|)에 비선형적으로 의존한다는 것이다.

특히 n₀=nd인 경우, 결함이 강해질수록( q→∞ ) 입자는 결함 사이트에 완전 국소화(δₙ,nd)하고, 평균 변위와 MSD는 단조적으로 감소한다. 반면 n₀≠nd일 때는 비단조적 현상이 나타난다. q가 증가함에 따라 P⁽ᵈ⁾ₙ₀와 P⁽ᵈ⁾ₙd는 처음에는 감소·증가하다가 다시 반대 방향으로 변해 최소·최대값을 만든다. 이는 “비단조적 억제”라 부르며, 장기적인 정상 상태에서도 초기 위치가 영구히 흔적을 남긴다.

극한 q→∞ 에서는 Φ(t) 가 고유 주파수 cos(θ_k) (θ_k=π(2k−1)/N) 로 구성된 유한 합으로 단순화되고, 정규화된 정적 확률은
P⁽ᵈ⁾ₙ = (3/2N)