포아송‑감마 상태공간 모델의 비정상성 및 장기 예측 특성

초록

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본 논문은 포아송‑감마 상태공간(PGSS) 모델의 다단계 예측 분포가 비정상적임을 수학적으로 증명한다. 예측 평균은 시간에 무관하게 일정하지만, 예측 분산은 예측 시점이 멀어질수록 무한히 커진다. 결국 장기 예측은 확률 질량이 0에 집중되는 퇴화된 분포로 수렴하며, 점·구간 예측값 모두 0에 수렴한다. 하이퍼파라미터와 할인계수(γ)의 역할을 분석해 이러한 현상이 어떻게 조정되는지 논한다.

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상세 분석

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PGSS 모델은 관측값 (y_t) 를 포아송 분포 (y_t\mid\theta_t\sim\text{Pois}(\theta_t)) 로, 상태 (\theta_t) 는 감마‑베타 구조를 갖는 곱셈형 랜덤워크 (\theta_t=\theta_{t-1}\eta_t) ((\eta_t\sim\text{Beta}(\gamma a_{t-1},(1-\gamma)a_{t-1}))) 로 정의한다. 초기 상태는 (\theta_0\sim\text{Gamma}(a_0,b_0))이며, (\gamma\in(0,1))은 할인계수이다. 이 구조는 베이즈 필터링을 닫힌 형태로 제공하지만, 시계열 자체는 비정상(non‑stationary)이다.

1. 예측 평균의 불변성
   저자들은 Tower Property와 재귀식 (a_t=\gamma a_{t-1}+y_t,; b_t=\gamma b_{t-1}+1)을 이용해
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