정규화 질량을 갖는 준선형 슈뢰딩거 방정식의 새로운 증명과 두 개의 비축성 해

초록

본 논문은 질량 제약 하에 $-\Delta u-\Delta(u^2)u=|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u+\lambda u$ 를 만족하는 준선형 슈뢰딩거 방정식의 정규화 해 두 개(지역 최소화 해와 마운틴 패스 해)를 존재함을 보인다. 기존의 Palais‑Smale‑Pohozaev 기법 대신, 변수 변환을 통한 이중법과 최근 개발된 단조성 트릭을 활용해 새로운 증명을 제시한다. 또한 $2<p<2+\frac{4}{N}<4+\frac{4}{N}<q\le 2^*$ 구간에서 질량 $a$ 가 충분히 작을 때 두 해가 구별됨을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 $N\ge2$ 차원에서 $2<p<2+\frac{4}{N}<4+\frac{4}{N}<q<2^*$ 를 만족하는 두 지수 $p,q$ 를 갖는 준선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 정규화(질량 고정) 해의 존재와 다중성을 조사한다. 핵심 아이디어는 비선형 변환 $v=f^{-1}(u)$ 를 도입해 원래의 비미분가능 에너지 함수를 $C^2$ 함수 $\Phi_\theta(v)$ 로 변환함으로써, 이중법(dual method)으로 문제를 반선형 형태로 바꾸는 것이다. 변환 함수 $f$는 $f’(t)=\frac1{\sqrt{1+2f^2(t)}}$ 로 정의되어 $f$와 $f’$가 모두 유계이며, $f$는 일대일이고 $C^\infty$이다. 이를 통해 원래의 제약 $\int_{\mathbb R^N}|u|^2=a$ 를 $\int_{\mathbb R^N}|f(v)|^2=a$ 로 보존하면서, 새로운 변수 공간 $S_a={v\in H^1(\mathbb R^N):\int|f(v)|^2=a}$ 위에서 변분 문제를 정의한다.

첫 번째 결과(Theorem 1.3)는 $2<p<4+4N\le q$ 구간에서 최소화 문제 $m(a)=\inf_{v\in S_a}\Phi(v)$ 의 성질을 분석한다. $p$ 가 $4+4N$ 보다 작고 $q$ 가 $4+4N$ 보다 크면 $m(a)=-\infty$ 로 발산하고, $p<2+4N<4+4N=q$ 인 임계 경우에는 $a$ 가 충분히 작을 때 $m(a)$ 가 유한하고 음수이며 최소화점이 존재함을 보인다. 이는 기존 연구에서 다루지 못한 $p<2+4N<4+4N=q$ 상황을 새롭게 정리한 것이다.

두 번째 결과(Theorem 1.5)는 $2<p<2+4N<4+4N<q\le2^*$ 구간에서 두 개의 서로 다른 정규화 해를 구축한다. 먼저, 변분 함수 $\Phi$ 가 $S_a$ 위에서 지역 최소값을 갖는 점을 찾아 지역 최소화 해를 얻는다. 이후, 단조성 트릭(monotonicity trick)을 이용해 파라미터 $\theta\in