에르되시와 그레이엄의 이집션 분수 문제 해결

초록

고정된 양의 유리수 x에 대해, 분모가 n 이하인 서로 다른 단위분수들의 합이 x가 되는 경우의 수는 (2^{(c_x+o(1))n}) 로 정확히 추정된다. 여기서 (c_x)는 (c_x=\int_0^1 h!\bigl(\frac{1}{1+e^{\lambda}/y}\bigr)dy) 로 정의되는 명시적 상수이며, (x)가 커질수록 (c_x)는 1에 접근한다.

상세 분석

본 논문은 1980년 에르되시와 그레이엄이 제기한 “분모가 n 이하인 단위분수들의 합이 1이 되는 경우의 수는 (2^{n-o(n)})인가?”라는 질문에 대한 정밀한 해답을 제공한다. 저자들은 먼저 임의의 고정 양의 유리수 (x)에 대해, (