정규분포 가중치 기반 확률적 배낭문제의 MILP 근사법

초록

본 논문은 아이템의 무게가 정규분포(상관 포함)하거나 일반 확률분포를 따를 때, 정적·동적 확률적 배낭문제를 혼합정수선형프로그램(MILP)으로 근사하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 첫 번째 손실 함수를 구간별 선형화하여 절대 최적성 오차를 보장하고, 이를 기반으로 정적 문제(SSKP)와 재귀적 호라이즌 제어를 이용한 동적 문제(DSKP)를 해결한다. 실험 결과, 제안 방법은 기존 최첨단 기법보다 확장성이 뛰어나며 기대 이익 면에서 거의 최적에 가깝다.

상세 분석

이 논문은 확률적 배낭문제(SSKP·DSKP)를 두 가지 차원에서 혁신적으로 접근한다. 첫째, 무게가 정규분포를 따르는 경우, 기대 초과 비용을 나타내는 ‘첫 번째 손실 함수(Loss₁)’를 구간별 평균과 확률 질량을 이용해 하한과 상한을 선형 구간으로 근사한다. 저자들은 Jensen 및 Edmundson‑Madanski 부등식을 활용해 W개의 구간을 설정하면 오차가 사전에 지정한 절대 허용치 이하가 되도록 구간 수를 계산하는 명시적 조건을 제시한다. 이를 MILP에 직접 삽입함으로써 비선형 기대값을 선형 제약식과 목표함수로 변환한다.

둘째, 다변량 정규분포(상관관계 포함)로 확장한다. 공분산 행렬을 이용해 각 아이템의 가중치 조합을 하나의 다변량 정규변수로 모델링하고, 선형화 과정에서 각 구간의 조건부 평균과 확률을 다변량 정규분포의 누적분포함수(CDF)와 역함수를 통해 계산한다. 이때 발생하는 이차 제약식은 표준 QP 형태로 변환 가능하므로, 기존 MILP 솔버가 직접 처리할 수 있다.

세 번째로, 일반 확률분포에 대해서는 샘플링 기반 근사와 커널 밀도 추정을 결합해 구간 평균·분산을 추정한다. 이 방법은 정확한 분포 형태를 알 필요 없이 경험적으로 근사함으로써, 다양한 실무 데이터에 적용 가능하게 만든다.

동적 문제(DSKP)에서는 아이템이 순차적으로 도착하고, 이전 아이템의 실현 무게가 이후 아이템의 기대 무게에 영향을 미치는 상황을 고려한다. 저자들은 재귀적 호라이즌 제어(RHC) 프레임워크를 도입해 현재 시점에서 일정 길이의 예측 호라이즌을 설정하고, 그 구간 내에서 정적 MILP 근사를 풀어 얻은 해를 실행한다. 이렇게 얻은 정책은 실제 동적 최적해와 비교했을 때 평균 2~5% 이내의 손실만을 보이며, 특히 상관관계가 있는 경우에도 무시했을 때 발생하는 비용을 정량화한다.

마지막으로, 광범위한 실험에서 500~2000개의 아이템을 포함한 대규모 인스턴스에 대해 CPLEX·Gurobi와 같은 최신 MILP 솔버를 사용했으며, 기존 SAA, Branch‑and‑Bound, LP/NLP 혼합 기법 대비 3배 이상 빠른 해결 시간을 기록했다. 기대 이익 측면에서는 0.5% 이내의 최적성 갭을 유지하면서도, 메모리 사용량과 계산 복잡도가 크게 감소한 것이 확인되었다.