연속체의 수를 셈: 무한 기수 위의 2^κ개의 서로 비교 불가능한 컴팩트 연속체

초록

이 논문은 무한 기수 κ에 대해 무게가 κ이고 크기가 λ인 컴팩트 하우스도르프 공간들의 클래스 C(κ,λ)에서, λ가 적절히 선택될 때 2^κ개의 서로 임베딩 불가능한(비교 불가능한) 연속체를 구성한다. 또한 선형 순서형 연속체와 균형성(balanced) 조건을 만족하는 예시를 제시하고, λ가 가산 코피탈리티를 가질 경우 이러한 공간이 존재하지 않음을 증명한다.

상세 분석

본 연구는 “비교 불가능(incomparable)”이라는 개념을 핵심으로 삼아, 동일한 무게와 크기를 갖는 컴팩트 하우스도르프 공간들 사이에 임베딩 관계가 전혀 없도록 하는 방법을 체계화한다. 먼저 (1.1)식에 의해 동일한 무게 κ를 가진 서로 다른 컴팩트 공간들의 수는 최대 2^κ임을 상한으로 잡는다. 이 상한을 실제로 달성하기 위해 저자는 두 단계의 구성법을 제시한다.

첫 번째 단계는 “전역 경로 비연결(totally pathwise disconnected) 연속체”를 만든다. 이를 위해 κ>ℵ₀인 경우, Theorem 3에서 ν(λ,κ)라는 카디널 연산을 이용해 λ^ν(λ,κ) 크기의 선형 순서형 연속체 F_κ와 G_λ을 만든다. 이 연속체들은 각각 무게 κ를 유지하면서도 서로 임베딩될 수 없도록 설계된다. 특히, G_λ은 w(X)<|X|인 경우를 다루어, 무게와 크기가 분리된 상황에서도 비교 불가능성을 확보한다.

두 번째 단계에서는 위에서 만든 전역 경로 비연결 연속체 X에 대해 원뿔(cone) 연산 Ψ(X)를 적용한다. Ψ(X)는 X×