대칭군 랜덤 워크와 사이클 통계의 표현론적 해석

초록

본 논문은 대칭군 (S_n) 위의 무작위 (i)-사이클 워크와 별 전치(transposition) 워크에 대해, 고정된 (j) 사이클 수 (a_j(\sigma)) 의 분포가 큰 (n) 에서 포아송으로 수렴함을 표현론과 모멘트 방법으로 증명한다. 핵심은 ((a_j)^r) 의 불변 클래스 함수에 대한 새로운 불변 문자 분해식이며, 이를 이용해 텐서 거듭제곱의 차수와 리밍 행렬의 고유값을 정확히 계산한다. 결과적으로 고정점과 (j\ge2) 사이클이 각각 ( \operatorname{Poisson}(1+e^{-c})) 와 (\operatorname{Poisson}!\bigl(\frac{1}{j}(1-e^{-jc})\bigr)) 분포로 수렴함을 보인다.

상세 분석

이 연구는 두 가지 주요 무작위 워크, 즉 임의 (i)-사이클을 곱하는 워크와 별 전치(1과 임의의 (i) 사이의 전치) 워크를 대상으로 한다. 두 경우 모두 워크의 전이 행렬이 대칭군의 클래스 함수에 의해 정의되므로, 푸리에 변환 ( \widehat{P}(\rho) ) 을 이용해 각 irreducible representation (S^\lambda) 에 대한 고유값을 구할 수 있다. 특히 별 전치 워크에서는 전이 행렬이 대각화 가능한 형태로 표현되며, Lemma 2.5에서 제시된 식
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