이진·비이진 자기이중 수열과 최대 주기 단일 트랙 그레이 코드

초록

본 논문은 이진 및 비이진 자기이중 수열(self‑dual sequences)의 구조와 재귀적 생성 방법을 제시하고, 이를 이용해 최대 주기 단일 트랙 그레이 코드(single‑track Gray code)를 구성한다. 보완 순환 레지스터(CCR)와 연산자 D·Δ를 활용한 수열 생성 이론을 정리하고, 소수 p에 대해 길이 p^t·주기 p^{p^t}인 비이진 최대 주기 코드를 최초로 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 이진 자기이중 수열(SDS)의 정의와 기존 연구를 정리한다. SDS는 순환 시퀀스가 자신의 보 complement와 동일한 특성을 갖는 것으로, 보완 순환 레지스터(CCR) n이 생성한다. CCR n의 피드백 함수 f(x₁,…,xₙ)=x₁+1(모듈로 2) 은 모든 SDS를 생성하며, 그 수는 정리 1·정리 2에서 φ 함수와 약수 합으로 정확히 셀 수 있다. 특히 길이가 2ⁿ인 경우, (1+x)^{2ⁿ+1} 다항식에 의해 생성되는 수열이 전부 SDS가 된다.

연산자 D와 그 역연산 D⁻¹은 순환 수열에 차분을 적용해 새로운 수열을 만든다. D는 E−1(순환 이동)와 동치이며, D⁻¹는 짝수·홀수 가중치에 따라 보완 관계를 유지한다. 논문은 D⁻¹를 2ⁿ번 적용한 결과가