고차원에서 Q곡률의 다중 폭발 현상

초록

본 논문은 차원 $n\ge 25$인 폐리만다플드 $(M,g_0)$에서, $Y(M,g_0)>0$와 $Y_4(M,g_0)>0$를 만족하는 경우, $g_0$와 $C^1$-근접한 새로운 계량 $g$를 구성하여 그 공변 클래스 안에 상수 $Q$‑곡률을 갖는 무한히 많은 매끄러운 계량을 만들고, 이들의 에너지와 부피를 임의로 크게 만들 수 있음을 보인다. 이는 마르케스(2015)의 스칼라 곡률 결과를 $Q$‑곡률에 확장한 것이다.

상세 분석

이 연구는 4차원 이하에서 정의되는 브랜슨의 $Q$‑곡률과 그에 대응하는 Paneitz 연산자를 고차원 $n\ge5$에 일반화한 뒤, 특히 $n\ge25$에서 발생하는 비정상적인 ‘폭발(블로업)’ 현상을 정밀히 분석한다. 저자들은 먼저 $Y(M,g_0)>0$와 $Y_4(M,g_0)>0$라는 두 양의 불변량을 가정함으로써 Paneitz 연산자가 양정(positive definite)임을 보장하고, 이를 통해 변분 구조를 확보한다. 변분 문제는 에너지 함수
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