다항식 근사력 향상을 위한 홈오몰피즘 합성

초록

본 논문은 연속 함수의 다항식 근사를 홈오몰피즘(연속적이고 일대일인 변환)과 결합함으로써 근사 정확도를 크게 높일 수 있음을 이론적으로 증명하고, 이를 가역 신경망(iResNet)으로 구현한 실험 결과를 제시한다. 특히, 유한 개의 극점을 갖는 1차원 함수에 대해 차수 M+1의 다항식과 적절한 홈오몰피즘을 선택하면 任의의 오차 ε 이하로 근사할 수 있음을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 일반적인 밀집 집합 Φ⊂C(Ωₕ)와 홈오몰피즘 h:Ω→Ωₕ 사이의 합성 연산 Kₕ(f)=f∘h가 연속성을 보존한다는 사실을 이용해, Φ가 Ωₕ에서 조밀하면 Φ_h= {φ∘h | φ∈Φ}가 Ω에서도 조밀함을 정리 3.1을 통해 증명한다. 이 결과는 h가 단순히 선형 변환일 필요 없이 임의의 연속·단조 함수이면 충분함을 보여, 기존 다항식 근사의 한계를 완화한다.

핵심은 정리 3.2와 3.3에서 제시된 “극점 기반 구성”이다. 연속 함수 f가 M개의 (엄격한) 국소 극점을 갖는다고 가정하면, 먼저 각 극점 구간 I_i=