볼록 제어 라야푸노프 함수를 통한 비선형 시스템의 피드백 합성

초록

본 논문은 비선형 이산시간 시스템을 위한 명시적 조각별 선형 피드백 법칙을 합성하는 계산 효율적인 방법을 제안합니다. 이 방법은 무한 수평선 미니맥스 HJB 방정식의 가치 함수를 구성 제약이 있는 조각별 선형 함수로 근사화하고, 이 근사가 주어진 시스템에 대한 일반화된 제어 라야푸노프 함수가 되도록 강제하여 강인성과 성능 보장을 유지합니다. 제안된 프레임워크는 제약이 있는 Van der Pol 발진기 사례 연구를 통해 그 유효성을 입증하였습니다.

상세 분석

본 논문의 핵심 기여는 구성 제약을 받는 다면체 에피그래프를 갖는 볼록 함수 클래스 내에서 일반화된 제어 라야푸노프 함수(CLF)를 탐색함으로써, 비선형 시스템에 대한 명시적 피드백 법칙을 사전 정의된 구조적 복잡도와 평가 시간으로 합성할 수 있는 프레임워크를 제시한 점에 있습니다. 기존의 명시적 MPC가 주로 선형 시스템에 국한되었던 점을 극복하면서도, 모든 계산 부하를 오프라인으로 처리하여 온라인 최적화 없이도 폐루프 성능을 보장합니다.

주요 기술적 통찰은 다음과 같습니다: 1) 시스템의 비선형성(f)과 비볼록성(L)을 정량화하는 Lipschitz 상수(γ, α)와 (σ, β)를 도입하여 정확한 보장을 위한 이산화 오차를 관리합니다. 2) 함수 M_z의 에피그래프를 구성 제약 다면체 P(z)로 파라미터화하여, 복잡도(꼭짓점 수, 면 수)를 사전 설정된 템플릿으로 제어할 수 있게 합니다. 3) 정리 1은 각 꼭짓점에서만 CLF 불평등식(4)이 성립하면, 전체 상태 공간에서도 일반화된 CLF 조건이 만족됨을 보장하는 충분 조건을 제시합니다. 이는 무한 차원의 함수 공간 탐색 문제를 유한 개의 꼭짓점에서의 제약 조건 검증 문제로 축소시키는 결정적인 역할을 합니다. 4) 보조정리 1은 일반화된 CLF가 경제적 비용 함수에 대해서도 유효한 평균 비용(ergodic performance) 상한 d를 제공함을 증명하여, 기존의 안정성 중심 CLF 개념을 확장합니다. 결론적으로, 이 방법론은 계산적 난제인 HJB 방정식의 정확한 해를 구하는 대신, 구성 가능한 정확도-복잡도 트레이드오프를 가지는 근사적 CLF를 최적화 문제(13)를 통해 합성하는 실용적인 경로를 제시합니다.