고차원 엘피 공간에서 랜덤워크의 수렴과 메트릭 구조

초록

본 논문은 차원 d와 단계 수 n이 동시에 무한대로 갈 때, ℓₚ(1≤p<∞) 노름을 이용해 정의된 랜덤워크 경로를 유한 메트릭 공간으로 보고, 이 공간이 Gromov‑Hausdorff 거리 아래에서 확률적으로 결정론적 한계 공간인 구간

상세 분석

논문은 먼저 ℓₚ-노름을 갖는 고차원 공간 ℝᵈ에서 정의된 랜덤워크 Sₙ^{(d)}의 경로 Zₙ^{(d)}={S₀^{(d)},…,Sₙ^{(d)}}를 “정규화된” 메트릭 공간 (n^{-1/2}Zₙ^{(d)},‖·‖ₚ) 로 본다. 여기서 각 증분 X_i^{(d)}는 (1)과 같이 d^{-1/p}(ξ₁,…,ξ_d) 형태이며, ξ_k는 서로 독립이고 평균 0, 분산 σ², 2p‑모멘트가 유한한 동일분포를 가진다. 이러한 구조는 ℓ₂ 경우와 달리 회전 대칭성이 사라져, Gromov‑Hausdorff 수렴을 다루기 위해 새로운 기법이 필요하다.

핵심 기술은 세 가지 단계로 나뉜다. 첫째, 단일 및 이변량 순간수 수렴 정리를 (Theorem 2.1, 2.3) 이용해 n^{-p/2}‖S_{⌊nt⌋}^{(d)}‖ₚ^{p}가 t^{p/2}σ^{p}M_{1/p}^{p}에 확률적으로 수렴함을 보인다. 여기서 M_{1/p}는 표준 정규분포의 1/p‑절대모멘트이다. 이를 위해 Marcinkiewicz‑Zygmund 부등식과 c_r 부등식을 활용해 균등 적분가능성을 확보한다.

둘째, p>1인 경우 ‖S_{⌊nt⌋}^{(d)}‖ₚ^{p}를 결정론적 증가 과정 Tₙ^{(d)}와 마팅게일 Qₙ^{(d)}로 분해한다. Tₙ^{(d)}는 단조 증가함을 보이며, Dini 정리를 이용해 supₜ|n^{-p/2}Tₙ^{(d)}(⌊nt⌋)-t^{p/2}σ^{p}M_{1/p}^{p}|→0을 얻는다. Qₙ^{(d)}는 평균이 0인 마팅게일이며, Doob의 부등식과 2차 모멘트 추정(ℓₚ‑노름의 고차 모멘트와 Marcinkiewicz‑Zygmund 상수 B_p를 사용)으로 n^{-p}E