확률와 구간 잡음을 동시에 고려한 선형 이차 제어

초록

본 논문은 확률적 가우시안 잡음과 구간(타원) 잡음이 동시에 존재하는 이산시간 선형 시스템에 대해, 칼만 필터와 집합‑멤버십 필터를 결합한 혼합 상태 추정기를 설계하고, 이를 기반으로 과도한 보수성을 피하면서도 안정성을 보장하는 최적 LQC 피드백 제어법을 제시한다. 시뮬레이션을 통해 기존 LQG·최소극대 제어 대비 향상된 추정·제어 성능을 확인한다.

상세 분석

이 논문은 실제 제어 시스템에서 흔히 마주치는 두 종류의 불확실성을 하나의 프레임워크로 통합하려는 시도를 한다. 기존 연구는 확률적 잡음(가우시안)만을 가정한 LQG와, 경계가 명시된 구간 잡음만을 고려한 최소극대(min‑max) 제어로 각각을 다루었으나, 두 잡음이 동시에 존재할 경우 각각을 독립적으로 적용하면 추정이 과도하게 낙관적이거나 제어가 지나치게 보수적이 되는 문제점이 있었다.

논문은 먼저 프로세스·관측 잡음을
(w_k = w^s_k + w^b_k,; v_k = v^s_k + v^b_k)
와 같이 확률적 성분과 구간(타원) 성분으로 분해한다. 확률적 성분은 평균 0, 공분산 (P_{w_k}, P_{v_k})인 가우시안이며, 구간 성분은 중심이 0인 타원 (E(0,M_{w_k})), (E(0,M_{v_k}))에 포함된다. 초기 상태 역시 동일한 혼합 모델을 갖는다.

상태 추정 단계에서는 기존 칼만 필터와 집합‑멤버십 필터를 각각 적용하는 것이 아니라, 두 필터의 목적 함수를 하나로 합친다. 구체적으로는 추정 공분산의 trace와 타원 형태 행렬의 trace를 가중합한 비용 (V_k = \operatorname{tr}(P_k)+\operatorname{tr}(M_k))를 최소화하도록 이득 (\Gamma_k)를 설계한다. 예측 단계에서는 선형 변환에 대한 Minkowski 합을 이용해 타원 형태를 보수적으로 확장하고, 업데이트 단계에서는 칼만 이득과 집합 이득을 동시에 고려한 복합 이득을 도출한다. 이 과정에서 스칼라 파라미터 (p_k, q_k)가 각각 공분산과 타원 형태의 상대적 중요도를 조정한다(식 23‑24). 결과적으로 얻어지는 추정기는 순수 칼만 필터보다 현실적인 불확실성을 반영하면서도, 순수 집합‑멤버십 필터보다 과도하게 보수적이지 않다.

제어 설계에서는 추정된 상태 (\hat{x}{k|k})와 그에 대한 확률적·구간적 오차를 모두 비용 함수에 포함한다. 기존 LQG는 기대값 최소화, 최소극대는 최악 경우 최소화만을 수행하지만, 여기서는
(\min{u}\max_{w^b,v^b}\mathbb{E}_{w^s,v^s}