단일 큐비트 양자 회로 학습을 이용한 변동성 시계열 모델링

초록

본 논문은 단일 큐비트 파라미터화 양자 회로 학습(QCL)을 활용해 비대칭 변동성을 갖는 합성 금융 시계열을 모델링한다. Rational GARCH(R‑GARCH) 모델로 생성한 데이터에 대해 QCL이 부정적인 수익‑변동성 상관관계와 반지속성(anti‑persistent) 특성을 유지함을 실증적으로 확인하였다. 또한 Hurst 지수와 다중프랙탈 분석을 통해 QCL이 원본 데이터와 동일한 다중프랙탈 구조를 보존함을 보여준다.

상세 분석

이 연구는 양자‑고전 하이브리드 학습 프레임워크인 Quantum Circuit Learning(QCL)을 변동성 예측에 적용한 최초 사례 중 하나로 평가된다. 저자는 단일 큐비트 파라미터화 양자 회로(PQC)를 설계하고, 입력 변수(수익률 rₜ와 변동성 σ²ₜ)를 각도 인코딩 방식으로 양자 상태에 매핑한다. 구체적으로 RY와 RZ 회전 게이트를 사용해 rₜ와 σ²ₜ를 arcsin, arccos 함수로 변환한 뒤, 세 개의 파라미터(θ, λ, φ)를 갖는 U(θ) 연산자를 적용한다. 최종 출력은 Z‑basis 측정 확률 P₀이며, 이를 다음 시점 변동성 예측값 vₜ₊₁으로 정의한다. 손실 함수는 평균제곱오차(MSE)이며, COBYLA 최적화 알고리즘을 통해 θ를 학습한다.

실험에서는 비대칭 변동성을 모델링하는 Rational GARCH(R‑GARCH) 방정식(σ²ₜ = ω + αr²ₜ₋₁ + βσ²ₜ₋₁ exp(γrₜ₋₁))을 사용해 1,095개의 일일 데이터(3년치)를 생성하였다. γ=0.1인 경우, 수익‑변동성 교차상관 C₂(j)는 양의 시차(j>0)에서 음의 값을 보이며, 이는 레버리지 효과(negative return‑volatility correlation)를 재현한다. QCL이 학습한 파라미터를 이용해 100,000개의 시뮬레이션 데이터를 생성했을 때, 동일한 C₂(j) 패턴과 지수적 감쇠(τ≈12) 가 나타났다. 원본 데이터와 비교하면 감쇠 시간 상수 τ는 약 33으로 차이가 있지만, 부호와 형태는 일치한다.

또한 변동성 증가 시계열 dVₜ = log vₜ – log vₜ₋₁에 대해 멀티프랙탈 디트렌드 플럭투에이션 분석(MFDFA)을 수행하였다. Hurst 지수 h(2)는 0.5 이하(평균 ≈0.44)로, 반지속성(anti‑persistent) 특성을 확인한다. 원본과 QCL‑생성 데이터 모두 자기상관 함수가 원점 근처에서 음의 값을 보이며, 이는 변동성 클러스터링과 반대 방향 움직임을 의미한다. 일반화된 Hurst 지수 h(q)가 q에 따라 변하고, 싱귤러리티 스펙트럼 f(α)가 넓은 α 구간을 차지하는 점에서 두 데이터 모두 다중프랙탈 구조를 갖는 것으로 결론지었다.

이러한 결과는 단일 큐비트 회로만으로도 비선형 복잡성을 충분히 포착할 수 있음을 시사한다. 특히, 사전 모델 가정 없이 입력 데이터를 각도 인코딩하고 파라미터 최적화만으로 비대칭 변동성, 레버리지 효과, 반지속성, 다중프랙탈성 등 금융 시계열의 핵심 통계적 특성을 재현했다는 점이 주목할 만하다. 다만, 현재 실험은 합성 데이터에 국한되었으며, 실제 고빈도 실시간 데이터에 적용할 경우 양자 잡음, 샘플링 비용, 최적화 수렴성 등 추가적인 도전 과제가 존재한다. 향후 연구에서는 다중 큐비트 구조, 데이터 재업로드 기법, 실제 시장 데이터 적용을 통해 QCL의 확장 가능성과 실용성을 검증할 필요가 있다.