전방삼투 플럭스 예측을 위한 물리와 머신러닝 융합 모델 및 완전 불확실성 정량화

초록

본 논문은 전방삼투(FO) 공정의 물 흐름(Jw)을 물리 기반 모델과 가우시안 프로세스 회귀(GPR)를 결합한 하이브리드 프레임워크로 예측한다. 물리 모델의 잔차를 학습하는 GPR은 데이터가 120개뿐인 저용량 상황에서도 평균 절대 백분율 오차 0.26 %와 R² 0.999라는 뛰어난 정확도를 달성한다. 또한 베이지안 GPR의 사후 분산을 이용한 모델(에피스테믹) 불확실성과 입력 변수의 공분산을 델타 방법으로 전파한 입력(알레아토릭) 불확실성을 분리해 전체 예측 불확실성을 정량화한다.

상세 분석

이 연구는 전방삼투 공정에서 물 흐름을 결정짓는 10개의 물리·기하학적 입력 변수를 모두 포함한 완전한 물리 모델을 먼저 구축하고, 그 모델이 제공하는 예측값(Jw_physical)과 실험값(Jw_actual) 사이의 차이(잔차)를 목표 함수로 삼아 가우시안 프로세스 회귀(GPR)를 학습시킨다. GPR은 매트리온 5/2 커널을 사용해 베이지안 사후 분포를 계산하고, 예측 평균을 잔차 보정값(g_GPR)으로, 사후 분산을 모델 불확실성(σ²_model)으로 제공한다. 이렇게 하면 물리 모델이 포착하지 못한 비선형 효과와 실험적 변동을 데이터 기반으로 보완하면서도 물리 법칙에 위배되지 않는 해석적 일관성을 유지한다.

불확실성 정량화는 두 축으로 전개된다. 첫째, 에피스테믹 불확실성은 GPR의 사후 분산에서 직접 얻으며, 이는 새로운 입력이 훈련 데이터와 얼마나 멀리 떨어져 있는가에 따라 자동으로 증가한다. 둘째, 알레아토릭 불확실성은 입력 변수들의 측정 오차(CV)와 상관관계(공분산 행렬 Σ_z)를 기반으로 델타 방법을 적용해 선형 근사식 σ²_input ≈ Jᵀ Σ_z J을 통해 전파한다. 여기서 J는 하이브리드 모델(Jw_hybrid)의 입력에 대한 야코비안으로, 물리 모델과 GPR 두 부분의 미분을 합산해 계산한다.

델타 방법의 정확성은 1,000개의 샘플을 이용한 몬테카를로 시뮬레이션(MCS)으로 검증하였다. 세 개의 테스트 포인트에 대해 MCS로 얻은 출력 분산(σ²_MCS)과 델타 방법으로 추정한 σ²_input이 거의 일치함을 보여, 비선형 전파 과정에서도 1차 테일러 근사가 충분히 신뢰할 수 있음을 입증한다.

실험 결과는 훈련 데이터 120점과 별도 테스트 데이터 2,854점에서 평균 절대 백분율 오차(MAPE) 0.26 %와 결정계수(R²) 0.999를 기록한다. 이는 기존의 순수 물리 모델이나 전통적인 머신러닝(ANN 등) 대비 현저히 높은 정확도이며, 특히 데이터가 제한된 상황에서 GPR이 과적합 없이 일반화 능력을 유지한다는 점을 강조한다.

이러한 하이브리드 접근법은 디지털 트윈 구축, 공정 최적화, 운영 안전성 평가 등에 바로 적용 가능하다. 물리 모델이 제공하는 해석적 근거와 GPR이 제공하는 데이터 기반 보정·불확실성 추정이 결합돼, 설계 단계에서부터 실시간 운영까지 전방삼투 시스템의 신뢰성을 획기적으로 향상시킬 수 있다.