일반 랜덤 생존 파라미터를 갖는 정수선상의 개구리 모델

초록

본 논문은 각 입자가 독립적으로 추출한 생존 파라미터 π 에 따라 기하학적 수명을 갖는 개구리 모델을 ℤ에 정의하고, π의 밀도가 오른쪽 끝에서 (1‑u)^{β‑1} L((1‑u)^{-1}) 형태를 만족할 때 나타나는 위상 전이를 분석한다. β > ½이면 평균 초기 입자 수가 유한한 경우 거의 확실히 소멸하고, β < ½이면 초기 입자가 전혀 없지 않은 한 양의 확률로 살아남는다. 경계 β = ½에서는 느리게 변하는 함수 L 의 극한값과 E(η) 에 따라 정밀한 소멸·생존 기준이 제시된다.

상세 분석

논문은 먼저 개구리 모델 FM(ℤ,π,η)을 정형화한다. 각 정점 x∈ℤ에 ηₓ개의 초기 입자가 놓이며, 입자 (x,i)의 생존 파라미터 π_{x,i}는 (0,1)에서 i.i.d.로 추출된다. 주어진 π=p 에 대해 입자의 수명 L은 파라미터 p 인 기하분포이며, 매 시간 단계마다 사망 확률 1‑p 를 가진다. 활성 입자는 단순 대칭 랜덤워크를 수행하고, 방문한 정점에 있는 모든 비활성 입자를 즉시 활성화한다. 이 과정의 핵심은 개별 입자가 자신의 수명 동안 달성할 수 있는 최대 편향 D⁺, D⁻, D* 의 꼬리 분포를 정확히 계산하는 데 있다. 저자는 기존 연구