리만 다양체 위 궤적 최적화를 위한 연속 의사스펙트럴 볼록화

초록

본 논문은 리만 다양체 제약을 갖는 최적 제어 문제에 대해, 내재적 재트랙션과 벡터 전송을 이용한 기하학적 일관성을 유지하면서 의사스펙트럴 전사와 연속 볼록화를 결합한 새로운 프레임워크를 제안한다. 제안 방법은 비선형 제약을 갖는 비볼록 문제를 일련의 볼록 서브문제로 변환하고, 6자유도 착륙 가이드 예제에서 단위 사원수와 추력 방향 벡터의 단위 노름을 기계 정밀도까지 유지함을 실증한다.

상세 분석

이 연구는 두 가지 핵심 기술을 통합한다. 첫째, 상태와 입력을 다양체의 접공간에 정의된 교란 변수(η, ξ)로 파라미터화하고, 재트랙션 R을 통해 원래 다양체 위의 실제 궤적을 복원한다. 재트랙션은 접공간의 원점을 기준으로 국소 동형성을 보장하므로, 교란 변수 자체는 유클리드 공간에서 자유롭게 연산이 가능하다. 둘째, 재트랙션에 의해 유도된 벡터 전송 Tₓ→y 를 사용해 서로 다른 시점의 접공간을 동일한 좌표계로 옮긴다. 이는 의사스펙트럴 보간에서 라그랑주 다항식의 가중합이 다양체 위에 머무르도록 하는 핵심 메커니즘이다.

전통적인 의사스펙트럴 방법은 상태를 다항식으로 보간하면서 중간값이 다양체를 벗어나게 되며, 동역학식 f(x,u) 가 접공간에 속하지 않는 문제를 야기한다. 기존 외재적 접근법은 제약 h(x)=0 형태로 강제하지만, 이는 비볼록 제약을 다루기 어렵고 추가 변수와 제약을 도입해 계산량을 크게 늘린다. 반면 본 논문의 내재적 전사는 교란 변수의 차분 Δx = x−x̄ 를 직접 정의하지 않고, η = Rₓ̄⁻¹(x) 형태로 표현함으로써 Δx 가 접공간에 속하도록 보장한다.

수치적 구현 단계에서는 hp-스키마를 채택해 시간 구간을 여러 세그먼트로 분할한다. 각 세그먼트 내에서는 재트랙션 기반 전송이 거의 항등에 가까워, 차분 연산이 곡률에 민감하지 않는다. 또한 세그먼트 경계에서 ηₚ = η₀ 형태의 선형 연속성 조건을 적용해 비선형 등식 없이 연속성을 유지한다. 이렇게 정의된 선형 제약식은 전통적인 의사스펙트럴 전사와 동일한 차원에서 행렬 형태로 표현되며, 연속 볼록화 단계에서 기존 SCvx와 동일하게 선형화된 동역학과 경로 제약을 포함한다.

구체적으로, 동역학의 교란 형태는 Dη/dt = F(η,ξ) 로 정의되고, 이는 D₂R⁻¹·f−D₁R·ẋ̄ 형태의 비선형 함수를 접공간에서 선형 근사한다. 선형화 과정에서 C와 S 연산자는 재트랙션의 1차 및 2차 미분을 이용해 접공간의 변화를 보정한다. 이러한 연산자는 각 세그먼트와 노드마다 로컬 정규 직교 프레임(E,F)을 도입해 좌표화되며, 최종 볼록 서브문제는 η, ξ, 시간 스케일 Δσ, 가상 제어 ν, 슬랙 s 등을 변수로 하는 2차 목표함수와 일차 제약식으로 구성된다.

실험에서는 6자유도 착륙 문제에 단위 사원수와 추력 방향 단위 벡터를 적용했으며, 외재적 ACCD 기반 방법과 비교해 최적 비용은 동등하면서도 단위 노름 드리프트가 기계 정밀도 수준으로 억제되는 것을 확인했다. 이는 제안 방법이 다양체 제약을 완전히 보존하면서도 고정밀 수렴을 달성함을 의미한다.