p$‑차 이중 Minkowski 문제와 $k$‑전단 강성의 새로운 연결 고리

초록

본 논문은 $k$‑Hessian 방정식에 의해 정의되는 $k$‑전단 강성의 $p$‑차 이중 측도를 도입하고, 그 변분식과 Hadamard 변분 공식을 유도한다. 이를 기반으로 $p\neq n$인 경우의 이중 Minkowski 문제를 제시하고, $p<n-2$일 때 새로운 곡률 흐름을 이용해 부드러운 비대칭 해의 존재와 수렴을 증명한다. 특히 $C^0$ 추정에서 불변 함수 $\Phi(\Omega_t)$를 활용한 하한 추정 기법을 새롭게 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 dual curvature measure 개념을 $k$‑Hessian 연산자 $S_k(D^2u)$와 연결시켜 $k$‑전단 강성 $T_k(\Omega)$를 정의한다. $T_k$는 $\displaystyle T_k(\Omega)=\frac{1}{k(n+2)}\int_{S^{n-1}}h(\Omega,x),|Du(\nu^{-1}\Omega(x))|^{k+1},\sigma{n-k}(h_{ij}+h\delta_{ij}),dx$ 로 표현되며, 이는 $k$‑전단 강성의 $1/k$ 제곱근을 취한 $eT_k$와 동일한 동차 차수를 가진다.

다음으로 $p$‑차 이중 $k$‑전단 강성 측도 $Q_{k,n-p}(\Omega,\cdot)$를 정의하고, $p=n$인 경우와 $p\neq n$인 경우를 구분한다. $p\neq n$에서는 $\displaystyle Q_{k,n-p}(\Omega,\eta)=\frac{1}{n-p}\int_{\alpha^*\Omega(\eta)}\rho^{p+1-k}(\Omega,v),|Du(r_\Omega(v))|^{k+1},dv$ 로, $p=n$에서는 로그형 한계값을 취한다. 이러한 정의는 기존의 dual Minkowski 문제와 완벽히 일치하면서도 $k$‑전단 강성이라는 새로운 물리적 의미를 부여한다.

핵심은 변분식(Hadamard formula)을 통해 $Q_{k,n-p}$의 첫 변분을 구하고, 이를 이용해 $p$‑차 이중 Minkowski 방정식
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