다중 샘플링 센서 환경에서의 시스템 식별을 위한 사이클릭 재구성 기법

초록

본 논문은 입력·출력 샘플링 주기가 서로 다른 다중 센서 시스템을 선형 시불변(LTI) 형태로 변환하는 사이클릭 재구성(cyclic reformulation) 방법을 제안한다. 변환된 LTI 모델에 기존 식별 기법을 적용해 상태공간 행렬 A, B, C, D를 추정하고, 수치 시뮬레이션을 통해 정확성을 검증한다.

상세 분석

이 연구는 다중 레이트(multi‑rate) 센서가 혼재하는 제어 시스템에서, 입력과 출력 데이터가 서로 다른 시간 격자를 가질 때 발생하는 식별 난제를 해결하고자 한다. 기존의 리프팅(lifting) 기법은 전체 주기를 하나의 고차원 벡터로 확장하지만, 관측가능성·제어가능성 보장이 복잡하고 원 시스템으로의 복귀가 어려운 단점이 있다. 저자들은 이러한 한계를 극복하기 위해 Bittanti 등(25, 26)이 제시한 사이클릭 재구성 방식을 채택한다. 핵심 아이디어는 원 시스템의 입력 u(k)와 출력 y(k)를 M‑주기(모든 센서 관측 주기의 최소공배수) 동안 순환적으로 배치하여, 차원 M·n·M·m·M·l의 블록 사이클 행렬 (\hat A, \hat B, \hat C, \hat D)를 구성하는 것이다. 이때 (\hat A)와 (\hat B)는 사이클 매트릭스로, (\hat C, \hat D)는 블록 대각 매트릭스로 나타나며, 각각의 블록은 원 시스템 행렬 A, B, C, D와 관측 주기 행렬 (V_k)의 곱으로 정의된다.

논문은 먼저 (A,B) 쌍이 제어가능하고 (C,D) 쌍이 관측가능하다는 가정 하에, 사이클 시스템의 제어가능성 매트릭스 (\Psi_c)와 관측가능성 매트릭스 (\Psi_o)가 각각 전부 풀랭크임을 증명한다. 특히, 관측가능성 증명에서는 (V_j C)와 (A^M)의 조합이 최소 하나의 j에 대해 풀랭크라는 가정을 이용해, 행 변환을 통해 (\tilde\Psi_o)를 구성하고, 그 랭크가 (M n)임을 보인다.

마코프 파라미터 (\hat H(i))를 도입해 시스템의 임펄스 응답을 블록 대각·사이클 형태로 표현함으로써, 식별 과정에서 필요한 행렬 연산을 효율적으로 수행한다. Lemma 1‑3은 (\hat H(i))와 사이클 전환 행렬 (\hat S_q) 사이의 관계를 정리해, 블록 대각·사이클 구조가 유지됨을 보장한다. 이러한 구조적 특성은 기존 LPTV 식별에서 발생하는 비선형 최적화 문제를 선형 최소제곱 문제로 전환할 수 있게 해준다.

알고리즘 자체는 다음과 같다. (1) 원 시스템의 입력·출력을 사이클링하여 (\hat u(k), \hat y(k))를 생성하고, (2) (\hat A, \hat B, \hat C, \hat D)를 이용해 사이클 시스템을 시뮬레이션한다. (3) 수집된 (\hat u, \hat y) 데이터를 기반으로 표준 서브스페이스 식별(Subspace Identification) 혹은 최소제곱 추정법을 적용해 (\hat A, \hat B, \hat C, \hat D)를 추정한다. (4) 마지막으로 상태 변환 행렬 F를 이용해 원 시스템 행렬 A, B, C, D를 복원한다.

수치 실험에서는 2‑입력·3‑출력 시스템에 대해 서로 다른 출력 주기(M₁=2, M₂=3, M₃=4)를 설정하고, 제안 알고리즘이 실제 행렬과 평균 오차 < 1 % 수준으로 복원함을 보여준다. 이는 기존 리프팅 기반 방법보다 샘플 효율성이 높고, 관측되지 않은 구간이 존재함에도 불구하고 정확한 식별이 가능함을 의미한다.

하지만 몇 가지 제한점도 존재한다. 첫째, 최소공배수 M이 크게 되면 사이클 시스템 차원이 급증해 계산 복잡도가 O(M³) 수준으로 증가한다. 둘째, 가정 1에서 요구하는 관측가능성 쌍이 존재하지 않을 경우(예: 특정 출력이 영구적으로 누락되는 경우) 알고리즘이 적용 불가능하다. 셋째, 노이즈가 큰 실시간 환경에서의 강인성 검증이 부족하다. 향후 연구에서는 차원 축소 기법과 강인 식별 기법을 결합해 실시간 적용성을 높이는 것이 필요하다.