계속 제곱근과 복합함수 연대기

초록

본 논문은 250 BCE부터 2016년까지의 다양한 ‘계속 복합함수(continued composition)’ 사례들을 연대순으로 정리한 주석서이며, 특히 계속 제곱근, 계속 거듭제곱, 계속 코탄젠트, 계속 로그 및 f‑전개와 같은 비선형 함수들의 무한 전개에 초점을 맞춘다. 기존에 잘 정리된 계속 분수·지수 형태는 제외하고, 원시 자료가 희귀하거나 잘 알려지지 않은 경우를 중심으로 상세히 서술한다.

상세 분석

논문은 먼저 ‘계속 복합함수’라는 개념을 (\displaystyle \lim_{n\to\infty}t_0\circ t_1\circ\cdots\circ t_n(c)) 형태로 정의하고, 오른쪽에서 왼쪽으로 연산이 진행되는 점을 강조한다. 여기서 각 (t_i)는 동일한 집합 (D)에서 자신으로의 사상이며, 수렴 여부는 근사값들의 유일한 유한극한 존재 여부에 달려 있다. 저자는 이 정의를 바탕으로 ‘계속 제곱근’((a_0+\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\cdots}})), ‘계속 거듭제곱’((a_0+(a_1+(a_2+\cdots)^p)^p)^p)), ‘계속 코탄젠트’((\cot(\arccot a_0-\arccot a_1+\arccot a_2-\cdots))), ‘계속 로그’((a_0+\log_b(a_1+\log_b(a_2+\cdots)))) 등 네 가지 주요 유형을 구분한다.

특히 논문은 19세기 초 Doppler가 (p=-1)인 경우가 계속 분수와 동일함을 발견한 점, 1835년 Herschfeld가 (p=1)을 무한 합으로, (p=2)를 계속 제곱근으로 해석한 점을 역사적 전환점으로 제시한다. 또한 1911년 Ramanujan이 비동일 비선형 사상 (t_i)를 사용한 최초의 계속 제곱근 항등식을 제시함으로써 ‘계속 복합함수’와 ‘반복 복합함수(iterated composition)’의 구분이 명확해졌다.

논문은 용어 정립에도 주목한다. ‘계속(continued)’은 뒤쪽 재귀 관계에 기반한 구성을 의미하고, ‘반복(iterated)’은 앞쪽 재귀 관계를 뜻한다. ‘중첩(nested)’과 ‘무한(infinite)’은 연산 순서를 명시하지 않으므로 혼동을 피하기 위해 ‘계속 제곱근’, ‘계속 거듭제곱’ 등으로 명명한다.

연대기 부분에서는 고대 아키메데스의 원주율 근사법을 시작으로, 1593년 Viète의 무한 제곱근 표현, 1596년 Van Ceulen의 유한 제곱근 전개, 1621년 Kepler의 초기 사례, 1692년 Bernoulli, 1816년 Legendre, 1830년 Galois, 1831년 Fourier 등 수백 년에 걸친 주요 논문·서적을 연도별·저자별로 정리한다. 각 항목마다 원문 출처, MR 번호, ISBN, 온라인 링크 등을 제공해 연구자가 원문을 쉽게 찾아볼 수 있게 배려했다.

마지막으로 저자는 이 연대기가 ‘전시(inventory)’ 수준에 머무르며, 디지털화된 자료가 지속적으로 늘어나는 현재 진행형 프로젝트임을 밝힌다. 따라서 향후 새로운 자료가 발견되면 추가·수정될 여지가 크며, 독자들의 피드백을 적극 환영한다.