리프시츠와 카잔 상수 사이의 새로운 연결고리

초록

본 논문은 실수선 위의 바이-리프시츠(homeomorphism) 행동을 하는 군에 대해, 상대적 성질 (T)와 연관된 카잔 상수와 리프시츠 상수 사이에 정량적 제약을 제시한다. 특히 (F_{2}\ltimes\mathbb Z^{2}) 의 경우 구체적인 하한을 얻으며, 순서가능 군에 대한 카잔 상수의 상한도 도출한다.

상세 분석

논문은 먼저 ( \mathrm{BiLip}_{bd}^{+}(\mathbb R) ) 이라는, 리프시츠 상수와 변위가 모두 유계인 증가함수들의 군을 정의하고, 이 군에 대한 작용이 Property (T) 를 가진 군에 어떠한 제약을 주는지를 탐구한다. 핵심은 Proposition 1.2 으로, 생성집합 (S) 에 속한 원소들의 리프시츠 상수가 1에 arbitrarily 가까워질 경우, 군은 ((\mathbb R,+)) 로의 비자명한 사상, 즉 무한 아벨 군 몫을 갖게 된다. 이는 Property (T) 가 몫에 대해 전이되므로, (T) 군은 이런 상황이 불가능함을 의미한다.

이를 정량화하기 위해 ( (G,\Gamma) ) 쌍에 대한 카잔 상수 ( \kappa(G,\Gamma,S) ) 를 정의하고, 리프시츠 상수와의 관계를 함수 ( \Phi ) 를 통해 제시한다. Theorem 1.4 은 \