디리클레 L함수 영점 쌍상관과 소수 정리의 새로운 연결

초록

본 논문은 일반화 리만 가설(GRH)과 디리클레 L함수 영점의 쌍상관에 관한 가정을 전제로, 몽고메리의 소수 정리 오차 추정에 대한 수정된 추측을 증명하고, 이를 통해 엘리엇‑할버스트럼 추측과 중앙값에서 L함수가 영점이 되는 문자 수에 대한 새로운 상한을 얻는다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 Montgomery‑Goldston 쌍상관 가설을 디리클레 L함수에 그대로 적용하는 것이 어려움을 지적한다. 저자들은 영점의 허수부를 위·아래 모두 포함하는 새로운 쌍상관 함수 G_{χ₁,χ₂}(x,T)를 정의하고, 이를 Dirichlet 문자들의 직교성을 이용해 평균값 F_q(x,T) 로 전환한다. 이 과정에서 Σ(x,T,v) 라는 복소수 합을 도입하고, |Σ|²의 적분 형태로 F_q를 표현함으로써 비음수성을 확보한다. 기존 연구와 달리 |γ|≤T 를 사용함으로써 L(1/2,χ)=0 일 가능성을 배제하지 못하는 상황을 고려한다. 이를 보완하기 위해 Σ₀ 라는 영점이 1/2에 위치한 문자들의 기여를 별도로 추출하고, Σ₀=0 일 때 F_q ≤4F_q⁺ 가 성립함을 보인다. 그러나 Σ₀≠0 일 경우를 대비해 상한 추정식 (8)과 정리 2, 정리 3을 통해 φ(q)·T·log x 수준의 일반적인 상한을 얻는다. 특히 정리 3에서는 Goldston‑Montgomery 버전의 Montgomery‑Vaughan 평균값 정리를 활용해 T의 상한을 exp(x^{3/4}) 로 확장하고, q≤√x/(\log x)^{2+ε} 구간에서 정확한 상수 π·φ(q)·T·log x 의 비동등식을 얻는다. 이러한 결과를 바탕으로 쌍상관 가정(Conjecture 2)이 성립하면, Friedlander‑Granville 가 제시한 Montgomery의 오차 추정 ψ(x;q,a)−x/φ(q)≪x^{½+ε}/q^{½} 가 q≤x^{1−ε} 전 범위에서 증명된다. 이는 기존에 알려진 q≤x^{½}/\log^{2+ε} 구간을 크게 확장한다. 마지막으로, 같은 가정 하에 L(1/2,χ)=0 인 문자 수를 q^{½+ε} 보다 작은 상한으로 제한함으로써 Chowla‑type 비소멸 추정과 연계한다. 전체적으로 논문은 쌍상관 함수의 정의를 확장하고, Fourier 변환과 직교성, 그리고 평균값 정리를 정교히 결합해 소수 정리와 L함수 비소멸 문제 사이의 깊은 연결 고리를 새롭게 제시한다.